calculo-de-una-variable-1

112 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.3
y=2.2
y=˛-5x+6
(1, 2)
y=1.8
0.8 1.2
1.7
FIGURA 8
Necesitamos establecer los valores de x para los cuales la curva y x 3 5x 6
se sitúa entre las horizontales y 1.8 y y 2.2. Por lo tanto, grafique las curvas
y x 3 5x 6, y 1.8 y y 2.2 cerca del punto 1, 2 en la figura 8. Luego utilice el
cursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y 2.2 y
la curva y x 3 5x 6 está por 0.911. De igual manera, y x 3 5x 6 corta la
recta y 1.8 cuando x 1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, puede
decir que
si 0.92 x 1.12 entonces 1.8 x 3 5x 6 2.2
Este intervalo 0.92, 1.12 no es simétrico con respecto a x 1. La distancia desde x 1
hasta el extremo izquierdo es 1 0.92 0.08 y la distancia hasta el extremo derecho es
0.12. Puede escoger d como el más pequeño de estos números, es decir, d 0.08. Luego
puede reescribir las desigualdades en términos de distancias como sigue:
si x 1 0.08 entonces x 3 5x 6 2 0.2
Esto dice justamente que al mantener a x dentro del 0.08 de 1, es capaz de conservar a fx
dentro de 0.2 de 2.
Aunque seleccionamos d 0.08, cualquier valor positivo más pequeño de d habría
funcionado.
El procedimiento gráfico del ejemplo 1 ilustra la definición para e 0.2, pero no demuestra
que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una d para cada e.
Para mejorar los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como
un desafío. Primero lo retan con un número e. Después usted debe ser capaz de obtener una
d adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda e 0, no sólo para una e en particular.
Considere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La persona
A estipula que se debe aproximar al número fijo L por medio de valores de fx dentro de
un grado de exactitud e (por ejemplo 0.01). Por lo tanto, la persona B responde determinando
un número d tal que 0 x a d siempre que fx L e. Luego A podría
volverse más exigente y desafiar a B con un valor más pequeño de e, por ejemplo, 0.0001.
Una vez más, B tiene que responder encontrando una d correspondiente. Por lo regular, a
medida que el valor de e es más pequeño, es menor el correspondiente valor de d. Si B
siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a e, entonces lím xla fx L.
V EJEMPLO 2 Demuestre que lím 4x 5 7.
x l3
SOLUCIÓN
1. Análisis preliminar del problema (adivinar un valor de d). Sea e un número
positivo dado. Queremos encontrar un número d tal que
si 0 x 3 d entonces 4x 5 7 e
Pero 4x 5 7 4x 12 4x 3 4 x 3 . Por lo tanto,
si 0 x 3 d entonces 4 x 3 e
es decir, si 0 x 3 d entonces
x 3 4
Esto hace pensar que debe escoger d e4.
2. Comprobación (presentación de que esta d funciona). Dado e 0, elija d e4.
Si 0 x 3 d, entonces
4x 5 7 4x 12 4 x 3 4 4 4