calculo-de-una-variable-1

148 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y
P{⁄, fl}
Q{¤, ‡}
Îy
y el cambio correspondiente en y es
El cociente de diferencias
y fx 2 fx 1
razón promedio de cambio m PQ
razón instantánea de cambio
pendiente de la tangente en P
FIGURA 8
Îx
0 ⁄ ¤ x
y
x f x 2 f x 1
x 2 x 1
se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x 1 , x 2 y se
puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 7.
Por analogía con la velocidad, considere la relación de cambio promedio en intervalos
cada vez más pequeños haciendo que x 2 tienda a x 1 y, por lo tanto, al hacer que x tienda
a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de
cambio de y con respecto a x en x x 1 , lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente
a la curva y fx en Px 1 , fx 1 :
6
razón de cambio instantánea
lím
x l 0
y
x
lím
x 2 l x 1
f x 2 f x 1
x 2 x 1
Reconocer este límite como la derivada fx 1 .
Sabe que una interpretación de la derivada fa es como la pendiente de la tangente a
la curva y fx cuando x a. Ahora tiene una segunda interpretación:
y
P
FIGURA 9
Los valores de y cambian con rapidez
en P y con lentitud en Q
Q
x
La derivada fa es la razón de cambio instantánea de y fx con respecto a x
cuando x a.
El enlace con la primera interpretación es que si dibuja la curva y fx, a continuación
la razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a esta curva en
el punto donde x a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y en consecuencia,
la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian
rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y el valor
de y cambia lentamente.
En particular, si s ft es la función posición de una partícula que se traslada a lo
largo de una línea recta, entonces fa es la razón de cambio del desplazamiento s con
respecto al tiempo t. En otras palabras, fa es la velocidad de la partícula en el tiempo
t a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, fa .
En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que
es definida verbalmente.
V EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de
producir x yardas de este tejido es de C fx dólares.
(a) ¿Cuál es el significado de la derivada fx? ¿Cuáles son sus unidades?
(b) En términos prácticos, ¿qué significa decir qué f1000 9?
(c) ¿Qué le hace pensar que es más grande f50 o f500? ¿Qué hay con respecto a
f5 000?
SOLUCIÓN
(a) La derivada f x es la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, es decir,
f x significa la razón de cambio del costo de producción con respecto al número
de yardas producidas. (Los economistas llaman a esto rapidez de cambio del costo
marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.)