calculo-de-una-variable-1

282 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
El uso principal que se le da al teorema de Rolle es en la demostración del importante
teorema siguiente, el cual fue planteado por primera vez por otro matemático francés,
Joseph-Louis Lagrange.
& El teorema del valor medio es un ejemplo
de lo que se llama un teorema de existencia. Al
igual que el teorema del valor intermedio, el
teorema del valor extremo y el teorema de
Rolle, garantiza que existe un número con una
cierta propiedad, pero no dice cómo determinar
dicho número.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
siguientes:
1. f es continua en el intervalo cerrado a, b.
2. f es derivable en el intervalo abierto a, b.
Entonces hay un número c en a, b tal que
1
o, en forma equivalente,
Sea f una función que cumple con las hipótesis
f c
f b f a
b a
2
f b f a f cb a
Antes de demostrar este teorema, conviene ver que es razonable interpretarlo desde el
punto de vista geométrico. Las figuras 3 y 4 muestran los puntos Aa, f a y Bb, f b
sobre las gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la secante AB es
3
m AB
f b f a
b a
la cual es la misma expresión que en el lado derecho de la ecuación 1. Como f c es la pendiente
de la recta tangente en el punto c, f c, el teorema del valor medio, en la forma dada
por la ecuación 1, expresa que existe por lo menos un punto Pc, f c sobre la gráfica
donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la de la recta secante AB. En
otras palabras, existe un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante AB.
y
P{c, f(c)}
y
P¡
B
A{a, f(a)}
A
P
B{b, f(b)}
0 a c b x
0 a c¡ c b x
FIGURA 3 FIGURA 4
DEMOSTRACIÓN Aplique el teorema de Rolle a una nueva función h definida como la diferencia
entre f y la función cuya gráfica es la secante AB. Si usa la ecuación 3 verá que la ecuación de
la recta AB se puede escribir como
o bien, como
y f a
y f a
f b f a
b a
f b f a
b a
x a
x a