calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS |||| 731
V EJEMPLO 5 Exprese 11 x 2 como una serie de potencias derivando la ecuación 1.
¿Cuál es el radio de convergencia?
SOLUCIÓN Al derivar cada miembro de la ecuación
se obtiene
1
1 x 1 x x 2 x 3
1
1 x 2 1 2x 3x 2
x n
n0
nx n1
n1
Si quisiera podría reemplazar n por n 1 y escribir la respuesta como
1
1 x 2
De acuerdo con el teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el mismo
que el radio de convergencia de la serie original, R 1.
EJEMPLO 6 Determine una representación como serie de potencias para ln1 x y su
radio de convergencia.
SOLUCIÓN Observe que, excepto en el caso de un factor de 1, la derivada de esta función
es 11 x. Por eso integre ambos miembros de la ecuación 1:
n0
n 1x n
ln1 x y
1
1 x dx y 1 x x 2 dx
x x2
2 x3
3 C
n0
x n1
n 1 C
n1
x n
n C
x 1
Para determinar el valor de C haga x 0 en esta ecuación y obtenga
ln1 0 C. Por lo tanto, C 0 y
ln1 x x x 2
2 x 3
3
n1
x n
n
x 1
El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R 1.
Observe qué sucede si hace
ln 1 2 ln 2,
x 1 2
en el resultado del ejemplo 6. Puesto que
V EJEMPLO 7 Encuentre una representación como serie de potencias para
fx tan 1 x.
SOLUCIÓN Observe que fx 11 x 2 y encuentre la serie requerida integrando la serie
de potencias para 11 x 2 determinada en el ejemplo 1.
tan 1 x y
ln 2 1 2 1 8 1
24 1
64
1
1 x 2 dx y 1 x 2 x 4 x 6 dx
C x x 3
3 x 5
5 x 7
7
n1
1
n2 n