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SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 321
CAS
CAS
CAS
CAS
13–14 Dibuje a mano la gráfica utilizando las asíntotas y las intersecciones,
pero no las derivadas. Enseguida use su dibujo como
guía para producir gráficas (con un aparato graficador) que exhiba
las características importantes de la curva. Utilice estas gráficas para
estimar los valores máximos y mínimos.
13. f x
14.
15. Si f es la función considerada en el ejemplo 3, use un sistema
algebraico para computadora para calcular f y dibújela para
confirmar que todos los valores máximos y mínimos son como
los que se dan en el ejemplo. Calcule f y úsela para estimar
los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
16. Si f es la función del ejercicio 14 encuentre f y f y use sus
gráficas para estimar los intervalos de incremento y decremento
y la concavidad de f.
17–22 Use un sistema algebraico para computadora para dibujar
f y hallar f y f. Utilice las gráficas de estas derivadas para estimar
los intervalos de incremento y decremento, los valores máximos, los
valores extremos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión
de f.
sx
17. f x
18.
x 2 x 1
19. f x sx 5 sen x,
x 20
20. f x x 2 1e arctan x
23–24
(a) Grafique la función.
(b) Explique la forma de la gráfica mediante el cálculo del límite
cuando x l 0 o cuando x l .
(c) Estime los valores máximo y mínimo, y luego, mediante
cálculo, determine los valores exactos.
(d) Utilice una gráfica de f para estimar las coordenadas x de los
puntos de inflexión.
23.
f x x 1x
x 4x 32
x 4 x 1
f x 2x 32 x 2 5
x 3 x 5 2
25. En el ejemplo 4 se consideró un miembro de la familia de funciones
f x senx sen cx que se presentan en la síntesis
de frecuencia modulada (FM). En este ejercicio investigue la
función para c 3. Empiece por dibujar f en el rectángulo de
visualización 0, p por 1.2, 1.2 ¿Cuántos puntos máximos
locales observa? La gráfica tiene más que son visibles a simple
vista. Para descubrir los puntos máximos y mínimos ocultos
necesitará analizar con mucho cuidado la gráfica de f. De
hecho, ayuda mirar al mismo tiempo la gráfica de f. Encuentre
todos los valores máximos y mínimos así como los puntos de
24.
f x
21. f x 1 e1x
22. f x
1 e 1x
x 2/3
1 x x 4
1
1 e tan x
f x sen x sen x
inflexión. A continuación trace la gráfica de f en el rectángulo
de visualización 2p, 2p por 1.2, 1.2 y haga comentarios
en cuanto a la simetría.
26–33 Describa cómo cambia la gráfica de f conforme varía c. Trace
la gráfica de varios miembros de la familia para ilustrar las tendencias
que descubra. En particular, deberá investigar cómo se mueven
los puntos máximos y mínimos y los puntos de inflexión cuando cambia
c. Debe, asimismo, identificar cualesquiera valores de transición
de c en los cuales cambie la forma básica de la curva.
26. f x x 3 cx
27. f x x 4 cx 2
28. f x x 2 sc 2 x 2 29. f x e cx 2
30.
f x lnx 2 c
1
32. f x
33.
1 x 2 2 cx 2
f x
cx
1 c 2 x 2
f x cx sen x
34. La familia de funciones f t Ce at e bt , donde a, b y C
son números positivos y b a, se ha utilizado para modelar
la concentración de un medicamento administrado por vía
intravenosa en el instante t 0. Trace la gráfica de varios
miembros de esta familia. ¿Qué tienen en común? Para valores
fijos de C y a, descubra en forma gráfica qué sucede a
medida que b crece. Enseguida aplique el cálculo para probar
lo que ha descubierto.
35. Investigue la familia de curvas dada por f x xe cx , donde c
es un número real. Empiece por calcular los límites de x l .
Identifique los valores de la transición de c donde cambia la
forma básica. ¿Qué sucede con los puntos máximo y mínimo y
los puntos de inflexión cuando se modifica c? Ilustre mediante
gráficas de varios miembros de la familia.
36. Investigue la familia de curvas dadas por la ecuación
f(x) x 4 cx 2 x. Empiece por determinar el valor de transición
de c en los cuales cambia el número de los puntos de inflexión.
Luego trace la gráfica de varios miembros de la familia
con el fin de observar cuáles formas son posibles. Existe otro
valor de transición de c en el cual cambia la cantidad de números
críticos. Trate de descubrirlo en forma gráfica. En seguida,
demuestre lo que descubrió.
37. (a) Investigue la familia de polinomios dada por la ecuación
f(x) cx 4 2x 2 1. ¿Para qué valores de c tiene puntos
mínimos la curva?
(b) Demuestre que los puntos mínimo y máximo de cada curva
de la familia se encuentran sobre la parábola y 1 x 2 .
Ilustre trazando la gráfica de esta parábola y de varios
miembros de la familia.
38. (a) Investigue la familia de polinomios dada por la ecuación
f x 2x 3 cx 2 2x. ¿Para qué valores de c la curva
tiene puntos máximos y mínimos?
(b) Demuestre que los puntos mínimo y máximo de cada curva
de la familia se encuentran sobre la curva y x x 3 . Ilustre
dibujando esta curva y varios miembros de la familia.
31.