calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
11. Una clepsidra o reloj de agua es un recipiente de vidrio con un pequeño agujero en el fondo a
través del cual el agua puede salir. El reloj se calibra para que mida el tiempo; la calibración
se efectúa colocando marcas en el recipiente que corresponden a los niveles de agua en tiempos
con separación igual. Sea x f y continua en el intervalo 0, b y suponga que el recipiente
se formó al hacer girar la gráfica de f alrededor del eje y. Sea V el volumen de agua y h la
altura del nivel de agua en el tiempo t.
(a) Determine V en función de h.
(b) Demuestre que
dV
dt
f h 2 dh
dt
(c) Suponga que A es el área del agujero en el fondo del recipiente. Se infiere de la ley de
Torricelli que la relación de cambio del volumen del agua es
dV
dt
kAsh
donde k es una constante negativa. Determine una fórmula para la función f tal que dhdt
es una constante C. ¿Cuál es la ventaja de tener dhdt C?
y
b
x=f(y)
h
x
y
v
h
L
12. Un recipiente cilíndrico de radio r y altura L está lleno en parte con un líquido cuyo
volumen es V. Si se hace girar el recipiente alrededor del eje de simetría con rapidez
angular constante , por lo tanto el recipiente inducirá un movimiento rotatorio en el
líquido alrededor del mismo eje. A la larga, el líquido estará girando a la misma rapidez
angular que el recipiente. La superficie del líquido será convexa, como se señala en la
figura, porque la fuerza centrífuga en las partículas de líquido aumenta con la distancia
desde el eje del recipiente. Se puede demostrar que la superficie del líquido es un paraboloide
de revolución generado al hacer girar la parábola
FIGURA PARA EL PROBLEMA 12
r
x
y h
alrededor del eje de las y, donde t es la aceleración de la gravedad.
(a) Determine h como una función de .
(b) ¿A qué rapidez angular la superficie del líquido tocará el fondo? ¿A qué rapidez se
derramará el agua por el borde?
(c) Suponga que el radio del recipiente es 2 pies, la altura es 7 pies y que el recipiente y el
líquido giran a la misma rapidez angular constante. La superficie del líquido está a 5 pies
por abajo de la parte superior del depósito en el eje central y a 4 pies por abajo de la parte
superior del recipiente a 1 pie del eje central.
(i) Determine la rapidez angular del recipiente y el volumen del líquido.
(ii) ¿Qué tanto por abajo de la parte superior el recipiente está el líquido en la pared del
recipiente?
13. Considere la grafica de un polinomio cúbico que corta transversalmente la parábola y x 2
cuando x 0, x a, y x b, donde 0 a b. Si las dos regiones entre las curvas tiene la
misma área, ¿cómo se relaciona b con a?
2
x 2
2t
450