calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS |||| A47
PRUEBA DE 1 Suponga que c n b n converge. Entonces, por el teorema 11.2.6, tiene
lím n l c n b n 0. De acuerdo con la definición 11.1.2 con 1, hay un entero positivo N
tal que siempre que n N. Así, para n N
x b
Si , entonces , de modo que es una serie geométrica convergente.
Por lo tanto, por la prueba de comparación, la serie nN es convergente. De
este modo, la serie c nx n
c n x n es absolutamente convergente y por lo tanto es convergente.
PRUEBA DE 2 Suponga que c n d n diverge. Si x es cualquier número tal que ,
entonces c no puede convergir porque, por la parte 1, la convergencia de c n x n
n x n
implicaría la convergencia de c . Por lo tanto, c n x n
n d n
diverge siempre que
x d
c nb n 1
c nx n c nb n x n
b n
xb 1
c nb n x n
b
x n
b
xb n
x d
.
TEOREMA Para una serie de potencias c n x n hay sólo tres posibilidades:
1. La serie converge sólo cuando x 0.
2. La serie converge para toda x.
3. Hay un número positivo R tal que la serie converge si y diverge si
.
x R
x R
PRUEBA Suponga que ni el caso 1 ni el caso 2 son verdaderos. Entonces hay números
b y d diferentes de cero tales que converge para x b y diverge para x d. En
consecuencia, el conjunto S x c n x n
no está vacío. Por el teorema precedente,
la serie diverge si , de modo que para toda . Esto dice
que d
x d
c nx n converge
x d x S
es un límite superior para el conjunto S. De este modo, por el axioma de plenitud
(sección 11.1), S tiene un límite superior mínimo R. si , entonces x S, de
modo que c diverge. Si x R, entonces no es un límite superior para S y por
lo tanto existe b S tal que b . Como b S, c n b n converge, de modo que, por el
teorema precedente, x
x n x n
x R
c n x n converge.
3 TEOREMA Para una serie de potencia c n x a n hay sólo tres posibilidades:
1. La serie converge sólo cuando x a.
2. La serie converge para toda x.
3. Hay un número positivo R tal que la serie converge si y diverge si
.
x a R
x a R
PRUEBA Si hace el cambio de variable u x a, entonces la serie de potencias se convierte
en c n u n y puede aplicar el teorema precedente a esta serie. En el caso 3 tiene
convergencia para u R y divergencia para u R. De este modo, tiene convergencia
para y divergencia para .
x a R
x a R