calculo-de-una-variable-1

670 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
EJERCICIOS
1–4 Bosqueje la curva paramétrica y elimine el parámetro para hallar
la ecuación cartesiana de la curva.
1. x t 2 4t, y 2 t,
4 t 1
2. x 1 e 2t , y e t
3. x cos , y sec ,
0 u p2
4. x 2 cos ,
y 1 sen
21–24 Encuentre la pendiente de la línea tangente a la curva dada en
el punto correspondiente al valor especificado del parámetro.
21. x ln t, y 1 t 2 ;
22. x t 3 6t 1, y 2t t 2 ;
23. r e ;
24. r 3 cos 3;
t 1
2
t 1
5. Escriba tres conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas
para la curva y sx.
6. Use las gráficas de x f t y y tt para bosquejar la curva
paramétrica x f t, y tt. Indique con flechas la dirección
en que se traza la curva cuando se incrementa t.
25–26 Encuentre dydx y d 2 ydx 2 .
25. x t sen t , y t cos t
26. x 1 t 2 , y t t 3
x
y
_1
7. (a) Localice el punto con coordenadas polares (4, 2p/3). A
continuación encuentre sus coordenadas cartesianas.
(b) Las coordenadas cartesianas de un punto son (3, 3). Encuentre
dos conjuntos de coordenadas polares para el punto.
8. Haga un dibujo de la región formada de puntos cuyas coordenadas
polares satisfacen 1 r 2 y p6 u 5p6.
9–16 Bosqueje la curva polar.
1 t
1 t
9. r 1 cos
10. r sen 4
11. r cos 3
12. r 3 cos 3
13. r 1 cos 2
14. r 2cos2
3
3
15. r
16. r
1 2 sen
2 2 cos
17–18 Encuentre una ecuación polar para la curva representada por
la ecuación cartesiana dada.
17. x y 2
18. x 2 y 2 2
; 19. La curva con ecuación polar r sen se llama caracoloide.
Use una gráfica de r como una función de en coordenadas
Cartesianas para bosquejar la caracoloide a mano. Después grafíquela
con una máquina para comprobar su bosquejo.
; 20. Grafique la elipse r 24 3 cos y su directriz. Grafique
también la elipse obtenida por rotación respecto al origen por
un ángulo 23.
1
; 27. Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto mínimo
sobre la curva x t 3 3t, y t 2 t 1. Después use el
cálculo para determinar las coordenadas exactas.
28. Encuentre el área encerrada por el bucle de la curva del
ejercicio 27.
29. ¿En qué puntos la curva
tiene tangentes verticales y horizontales? Use esta información
como ayuda para bosquejar la curva.
30. Determine el área encerrada por la curva del ejercicio 29.
31. Obtenga el área encerrada por la curva r 2 9 cos 5.
32. Halle el área encerrada por el bucle interior de la curva
r 1 3sen .
33. Encuentre los puntos de intersección de las curvas r 2 y
r 4 cos .
34. Obtenga los puntos de intersección de las curvas r cot y
r 2 cos .
35. Determine el área de la región que yace dentro de ambos círculos
r 2 sen y r sen cos .
36. Halle el área de la región que yace dentro de la curva
r 2 cos 2 pero fuera de la curva r 2 sen .
37–40 Encuentre la longitud de la curva.
37. x 3t 2 , y 2t 3 , 0 t 2
38. x 2 3t, y cosh 3t,
39. r 1,
x 2a cos t a cos 2t
2
40. r sen 3 3, 0
y 2a sen t a sen 2t
0 t 1