calculo-de-una-variable-1

682 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
EJEMPLO 12 Demuestre que la sucesión a n
SOLUCIÓN 1 Es necesario demostrar que a n1 a n , es decir,
n 1
n 1 2 1
n
n 2 1
n
n 2 1
es decreciente.
Esta desigualdad equivale a la obtenida por multiplicación cruzada:
n 1
n 1 2 1
n
n 2 1
&?
&?
&?
n 1n 2 1 nn 1 2 1
n 3 n 2 n 1 n 3 2n 2 2n
1 n 2 n
Puesto que n 1, ya sabe que la desigualdad n 2 n 1 es verdadera. Por lo tanto,
a n1 a n y también a n es decreciente.
x
SOLUCIÓN 2 Considere la función f x :
x 2 1
f x x 2 1 2x 2
x 2 1 2 1 x 2
x 2 1 2 0
cuando x 2 1
En estos términos, f es decreciente en 1, y por eso
a n es decreciente.
f n f n 1. Por lo tanto
11 DEFINICIÓN
M tal que
Una sucesión a n está acotada por arriba si hay un número
a n M para toda n 1
Se dice que está acotada por abajo si hay un número m tal que
m a n para toda n 1
Si está acotada por arriba y por abajo, en tal caso a n es una sucesión acotada.
1 3
M
L
0 2
n
a n
FIGURA 12
Por ejemplo, la sucesión a n n está acotada por abajo a n 0, pero no por arriba. La
sucesión a n nn 1 está acotada porque 0 a n 1 para toda n.
Ya sabe que no toda sucesión acotada es convergente [por ejemplo, la sucesión
a n 1 n cumple con 1 a n 1, pero es divergente del ejemplo 6] y no toda sucesión
monótona es convergente a n n l . Pero si una sucesión es tanto acotada como
monótona, entonces tiene que ser convergente. Este hecho se demuestra en la forma del teorema
12, pero intuitivamente se entiende por qué es cierto viendo la figura 12. Si a n es
creciente y a n M para toda n, después los términos están forzados a aglomerarse y a
aproximarse a un número L.
La demostración del teorema 12 se apoya en el axioma de completitud para el conjunto
de los números reales, que dice que si S es un conjunto no vacío de números reales
que tiene una cota superior M (x M para toda x en S), luego S tiene una cota superior
mínima b. [Esto quiere decir que b es una cota superior para S, pero si M es cualquier otra
cota superior, por lo tanto b M]. El axioma de completitud expresa el hecho de que no
hay brecha o agujero en la recta de los números reales.