calculo-de-una-variable-1

404 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
& En esta regla se afirma que cuando se usa
una sustitución en una integral definida, debe
poner todo en términos de la nueva variable u,
no sólo x y dx, sino también los límites de
integración. Los nuevos límites de integración
son los valores de u que corresponden a
x a y x b.
6 REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Si t es continua en
a, b y f es continua sobre el rango de u tx, entonces
y b
a
f txtx dx y tb
f u du
ta
DEMOSTRACIÓN Sea F una antiderivada de f. Entonces, por (3), Ftx es una
antiderivada de f txtx, de modo que de acuerdo con la parte 2 del teorema
fundamental
y b
f txtx dx Ftx] b a Ftb Fta
a
Pero, si se aplica TFC2 una segunda vez, también resulta
y tb
f u du Fu] tb ta
Ftb Fta
ta
y 4
0
EJEMPLO 7 Evalúe s2x 1 dx usando (6).
SOLUCIÓN Si se aplica la sustitución a partir de la solución 1 del ejemplo 2, se tiene
u 2x 1 y dx du2. Para encontrar los nuevos límites de integración,
advierta que
cuando x 0, u 20 1 1
y
cuando x 4, u 24 1 9
& En la figura 2 se muestra la interpretación
geométrica del ejemplo 7. La sustitución
u 2x 1 alarga el intervalo 0, 4 con un
factor de 2 y lo traslada hacia la derecha una
unidad. La Regla de Sustitución hace ver que
las dos áreas son iguales.
Por lo tanto,
y 4
s2x 1 dx y 9
0 1
1
1 2 2 3u 32 9
2 su du ] 1
1 39 32 1 32 26 3
Observe que al usar (6) no se regresa a la variable x después de integrar. Sencillamente
evaluó la expresión en u entre los valores apropiados de u.
y
y
3
2
y=œ„„„„„ 2x+1
3
2
œ„u
y=
2
1
1
FIGURA 2
0
4
x
0
1
9
u
& La integral dada en el ejemplo 8 es una
abreviatura para
y 2 1
1 3 5x dx 2
EJEMPLO 8 Evalúe y 2 dx
.
1 3 5x 2
SOLUCIÓN Sea u 3 5x. Entonces du 5 dx, de modo que dx du5.