calculo-de-una-variable-1

244 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
V EJEMPLO 4 El automóvil A se dirige hacia el oeste a 50 millash y el vehículo B viaja
hacia el norte a 60 millash. Ambos se dirigen hacia la intersección de los dos caminos.
¿Con que rapidez se aproximan los vehículos entre sí cuando el automóvil A está a 0.3
millas y el vehículo B está a 0.4 millas de la intersección?
C
y
x
z
A
SOLUCIÓN Dibuje la figura 4 donde C es la intersección de los caminos. En un tiempo dado
t, sea x la distancia entre el automóvil A y C, sea y la distancia desde el automóvil B a C,
y sea z la distancia entre los vehículos, donde x, y y z se miden en millas.
Sabe que dxdt 50 millash y dydt 60 millas/h. Las derivadas son negativas
porque x y y son decrecientes. Se pide calcular dzdt. La ecuación que relaciona x, y y z la
proporciona el teorema de Pitágoras:
B
z 2 x 2 y 2
FIGURA 4
Al derivar ambos lados con respecto a t obtiene
2z dz
dt
2x
dx
dt
2y
dy
dt
dt
dz
dt 1 x dx
z dt y dy
Cuando x 0.3 millas y y 0.4 millas, el teorema de Pitágoras da z 0.5 millas, de
modo que
dz
dt 1
0.5 0.350 0.460
78 millash
Los vehículos se aproximan entre sí a razón de 78 millash.
V EJEMPLO 5 Un hombre camina a lo largo de una trayectoria recta a una rapidez de
4 piess. Un faro está situado sobre el nivel de la tierra a 20 pies de la trayectoria y
se mantiene enfocado hacia el hombre. ¿Con que rapidez el faro gira cuando el hombre
está a 15 pies del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de luz?
x
SOLUCIÓN Trace la figura 5 y haga que x sea la distancia desde el hombre hasta el punto
sobre la trayectoria que esté más cercana al faro. Sea el ángulo entre el rayo desde el
faro y la perpendicular a la trayectoria.
Sabe que dxdt 4 piess y se pide calcular ddt cuando x 15. La ecuación que
relaciona x y se puede escribir a partir de la figura 5:
20
¨
FIGURA 5
x
20 tan
Al derivar con respecto a t ambos miembros obtiene
dx
dt
20 sec2
d
dt
x 20 tan
por lo que
d
dt
1
20
cos2
dx
dt 1
20 cos2 4 1 5 cos2