calculo-de-una-variable-1

460 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
7.2
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
En esta sección se usan identidades trigonométricas para integrar ciertas combinaciones de
funciones trigonométricas. Se empieza con potencias de seno y coseno.
EJEMPLO 1 Evalúe y cos 3 x dx.
SOLUCIÓN Sustituir simplemente u cos x no es útil, puesto que du sen x dx. A fin de
integrar potencias de coseno, sería necesario un factor sen x extra. De manera similar,
una potencia de seno requeriría un factor cos x extra. Así, aquí se puede separar un factor
coseno y convertir el factor cos 2 x restante a una expresión relacionada con el seno por
medio de la identidad sen 2 x cos 2 x 1:
cos 3 x cos 2 x cos x 1 sen 2 x cos x
Se puede evaluar la integral sustituyendo u sen x, de modo que du cos x dx y
y cos 3 x dx y cos 2 x cos x dx y 1 sen 2 x cos x dx
y 1 u 2 du u 1 3u 3 C
sen x 1 3 sen 3 x C
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y
coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos
de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad sen 2 x cos 2 x 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares
de seno y coseno.
V
EJEMPLO 2 Encuentre y sen 5 x cos 2 x dx
SOLUCIÓN Se convertiría cos 2 x a 1 sen 2 x, pero se tendría una expresión en términos
de sen x sin ningún factor cos x extra. En cambio, se separa un solo factor seno y se
reescribe el factor sen 4 x restante en términos de cos x:
sen 5 x cos 2 x sen 2 x 2 cos 2 x sen x 1 cos 2 x 2 cos 2 x sen x
& En la figura 1 se muestran las gráficas
del integrando sen 5 x cos 2 x del ejemplo 2
y su integral indefinida (con C 0). ¿Cuál
es cuál?
0.2
Sustituyendo u cos x, se tiene du sen x dx, por lo tanto,
y sen 5 x cos 2 x dx y sen 2 x 2 cos 2 x sen x dx
y 1 cos 2 x 2 cos 2 x sen x dx
_π
π
y 1 u 2 2 u 2 du y u 2 2u 4 u 6 du
FIGURA 1
_0.2
u 3
3 2 u 5
5 7 u 7
C
1 3 cos 3 x 2 5 cos 5 x 1 7 cos 7 x C