calculo-de-una-variable-1

622 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
y
(8, 5)
En el ejemplo 1 el parámetro t fue irrestricto, así que se supone que t podría ser cualquier
número real. Pero algunas veces t se restringe a estar en un intervalo finito. Por ejemplo,
la curva paramétrica
0
FIGURA 3
(0, 1)
x
x t 2 2t y t 1 0 t 4
mostrada en la figura 3 es la parte de la parábola del ejemplo 1 que empieza en el punto
0, 1 y termina en el punto 8, 5. La cabeza de flecha indica la dirección en la que se traza
la curva cuando t crece de 0 a 4.
En general, la curva con ecuaciones paramétricas
x f t y tt a t b
tiene punto inicial f a, ta y punto terminal f b, tb.
V EJEMPLO 2 ¿Qué curva se representa mediante las ecuaciones paramétricas x cos t,
y sen t, 0 t 2?
SOLUCIÓN Si se grafican los puntos, la curva parece una circunferencia. Esta impresión se
confirma al eliminar t. Observe que
x 2 y 2 cos 2 t sen 2 t 1
Así, el punto x, y se mueve en la circunferencia unitaria x 2 y 2 1. Observe que en
este ejemplo el parámetro t se puede interpretar como el ángulo en radianes mostrado
en la figura 4. Cuando t se incrementa de 0 a 2p, el punto x, y cos t, sen t se mueve
una vez alrededor de la circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj,
empezando en el punto 1, 0.
π
t=
2
y
(cos t, sen t)
t=π
t=0
t
0 0) x
t=2π
FIGURA 4
EJEMPLO 3 ¿Qué curva se representa mediante las ecuaciones paramétricas?
x sen 2t, y cos 2t, 0 t 2p
SOLUCIÓN De nuevo se tiene
3π
t=
2
t=0, π, 2π
y
(0, 1)
0
x
x 2 y 2 sen 2 2t cos 2 2t 1
de modo que las ecuaciones paramétricas representan el círculo unitario x 2 y 2 1.
Pero cuando t se incrementa de 0 a 2p, el punto x, y sen 2t, cos 2t comienza en 0,
1 y se mueve dos veces alrededor del círculo en la dirección de las manecillas del reloj
como se indica en la figura 5.
FIGURA 5
En los ejemplos 2 y 3 se muestra que los diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas
pueden representar la misma curva. Así, se distingue entre una curva, que es un conjunto
de puntos, y una curva paramétrica, en la cual los puntos se trazan de una manera
particular.