calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 235
t se mide en años, entonces la rapidez de crecimiento relativo es k 0.02 y el crecimiento
de población relativa de 2% por cada año
V EJEMPLO 1 Use el hecho de que la población mundial fue 2 560 millones en 1950 y
3 040 millones en 1960 para modelar la población del mundo en la segunda mitad del
siglo XX. (Suponga que la razón de crecimiento es proporcional al tamaño de la población.
¿Cuál es la razón de crecimiento relativo? Aplique el modelo para estimar la población
mundial en 1993 y del mismo modo predecir la población en el año 2020.
SOLUCIÓN Mida el tiempo t en años y sea que t 0 en el año 1950. Mida la población P(t)
en millones de personas. Entonces, P(0) 2 560 y P(10) 3 040. Ya que está suponiendo
que dP/dt kP, el teorema 2 proporciona
k 1 3040
ln
10 2560 0.017185
La razón de crecimiento relativo es casi 1.7% por cada año y el modelo es
Se estima que en 1993 la población mundial fue
El modelo predice que en 2020 la población será
La gráfica en la figura 1 muestra que el modelo ya es exacto para finales del siglo XX (los
puntos representan la población actual), de esta manera la estimación para 1993 es completamente
confiable. Pero la predicción para 2020 es aventurado.
P
6000
Pt P 0 e 0.02t
Pt P0e kt 2560e kt
P10 2560e 10k 3040
Pt 2560e 0.017185t
P43 2560e 0.01718543 5360 millones
P70 2560e 0.01718570 8524 millones
Población
(en millones)
P=2560e 0.017185t
FIGURA 1
Un modelo del crecimiento
de la población mundial en la
segunda mitad del siglo xx
20 40
Años desde 1950
t
DECAIMIENTO RADIACTIVO
Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontánea. Si m(t) es la
masa que queda a partir de una masa inicial m 0 de la sustancia después de tiempo t, por lo
tanto, se ha encontrado de manera experimental que la rapidez de decaimiento
1 m
dm
dt