calculo-de-una-variable-1

416 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
y
En el caso donde tanto f y t son positivas, puede ver en la figura 3 por qué (2) es cierta:
S
y=ƒ
y=©
A área bajo y f x área bajo y tx
y b
f x dx y b
tx dx y b
f x tx dx
a
a
a
0 a
b x
FIGURA 3
A=j ƒ dx-j © dx
j b
a
y T
y B
j b
a
y
y=´
x=1
y=x Îx
1
0
1
x
FIGURA 4
y
y T -y B
Îx
0 a
b
x
FIGURA 5
EJEMPLO 1 Determine el área de la región acotada por arriba con y e x , por abajo
mediante y x y a los lados por x 0 y x 1.
SOLUCIÓN La región se muestra en la figura 4. La curva del límite superior es y e x
y la curva del límite inferior es y x. De este modo use la fórmula del área (2) con
f x e x , tx x, a 0 y b 1:
A y 1
e x x dx e x 1 2 x 2 ] 1 0
0
En la figura 4 se toma un rectángulo de aproximación representativo cuya anchura es x
como recordatorio del procedimiento por medio del cual se define el área (1). En general,
cuando plantee una integral para determinar un área, es útil elaborar un croquis de la región
para identificar la curva superior y T , la curva inferior y B y el rectángulo de aproximación representativo
como en la figura 5. Por consiguiente, el área de un rectángulo característico es
y T y B x y la ecuación
A lím
n l
n
i1
e 1 2 1 e 1.5
y T y B x y b
y T y B dx
resume el procedimiento al añadir, en el sentido limitante, las áreas de todos los rectángulos
representativos.
Observe que, en la figura 5, el límite o frontera izquierda se reduce a un punto, en tanto
que en la figura 3, la frontera derecha se reduce a un punto. En el ejemplo siguiente, ambos
límites se reducen a un punto, de modo que el primer paso es determinar a y b.
V EJEMPLO 2 Calcule el área de la región definida por las parábolas y x 2 y
y 2x x 2 .
a
y
y T =2x-≈
(1, 1)
SOLUCIÓN Primero determine los puntos de intersección de las parábolas resolviendo en
forma simultánea sus ecuaciones. El resultado es x 2 2x x 2 , o 2x 2 2x 0. Por
eso, 2xx 1 0, de modo que x 0 o 1. Los puntos de corte son 0, 0 y 1, 1.
Según la figura 6, los límites superior e inferior son
y T 2x x 2 y y B x 2
El área de un rectángulo representativo es
Îx
(0, 0)
y B =≈
x
y T y B x 2x x 2 x 2 x
por lo que la región se sitúa entre x 0 y x 1. De modo que el área total es
FIGURA 6
A y 1
2x 2x 2 dx 2 y 1
x x 2 dx
0
2 x 2
2 x 3
30
0
1
2 1 2 1 3 1 3