calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.2 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS |||| 465
Entonces
y sec 3 x dx sec x tan x y sec x tan 2 x dx
sec x tan x y sec x sec 2 x 1 dx
sec x tan x y sec 3 x dx y sec x dx
Si se emplea la fórmula 1 y se resuelve para la integral requerida, se obtiene
y sec 3 x dx 1 2(sec x tan x ln sec x tan x ) C
Integrales como la del ejemplo anterior podrían parecer muy especiales, pero ocurren
con frecuencia en aplicaciones de integración, como se verá en el capítulo 8. Integrales
de la forma x cot m x csc n x dx se pueden determinar mediante métodos similares como
resultado de la identidad 1 cot 2 x csc 2 x.
Por último, se puede hacer uso de otro conjunto de identidades trigonométricas:
& Estas identidades de producto se analizan
en el apéndice D.
2 Para evaluar las integrales (a) x sen mx cos nx dx, (b) x sen mx sen nx dx, o
(c) x cos mx cos nx dx, use la identidad correspondiente:
(a) sen A cos B 1 2 senA B senA B
(b) sen A sen B 1 2cosA B cosA B
(c) cos A cos B 1 2cosA B cosA B
EJEMPLO 9 Evalúe y sen 4x cos 5x dx.
SOLUCIÓN Esta integral podría ser evaluada por medio de integración por partes, pero es
más fácil usar la identidad de la ecuación 2(a) como sigue:
y sen 4x cos 5x dx y 1 2senx sen 9x dx
1 2 y sen x sen 9x dx
1 2(cos x 1 9 cos 9x C
7.2
EJERCICIOS
1–49 Evalúe la integral.
1. y sen 3 x cos 2 x dx
2.
y sen 6 x cos 3 x dx
y
9. sen 4 3t dt
10.
0
y
0
cos 6 d
3.
5. y sen 2 px cos 5 px dx 6.
7.
y 34
sen 5 x cos 3 x dx
2
y
0
2
cos 2 d
4.
y
8. y
0
0
2
y sen3 sx
sx
2
cos 5 x dx
dx
sen 2 2 d
11. y 1 cos 2 d
12. y x cos 2 x dx
13.
y
0
2
sen 2 x cos 2 x dx
15. y cos5 a
16. y cos cos 5 sen d
ssen a dx
14.
y
0
sen 2 t cos 4 t dt