calculo-de-una-variable-1

556 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
SOLUCIÓN
(a) Para 0 x 10 se tiene 0.006x10 x 0, por lo tanto, f x 0 para toda x. Se
necesita comprobar también que se satisface la ecuación 2:
y
0
f x dx y 10
0.006x10 x dx 0.006 y 10
10x x 2 dx
0
0.006[5x 2 1 3 x 3 ] 0
10
Por lo tanto, f es una función de densidad de probabilidad.
(b) La probabilidad de que X esté entre 4 y 8 es
P4 X 8 y 8
f x dx 0.006 y 8
10x x 2 dx
4
0.006(500 1000
3 ) 1
4
0.006[5x 2 1 3 x 3 ] 4
8
0.544
V EJEMPLO 2 Fenómenos como los tiempos de espera y los tiempos de falla de equipo,
se modelan por lo común mediante funciones de densidad de probabilidad que decrecen
en forma exponencial. Determine la forma exacta de tal función.
SOLUCIÓN Considere la variable aleatoria como el tiempo de espera en una llamada antes
de que conteste un agente de una compañía a la que usted está llamando. Así que
en lugar de x, se emplea t para representar el tiempo, en minutos. Si f es la función
de densidad de probabilidad y usted llama en el tiempo t 0, a continuación, de
la definición 1, x 2 f t dt representa la probabilidad de que un agente conteste dentro de
0
los primeros dos minutos y x 5 f t dt es la probabilidad de que la llamada sea contestada
4
durante el minuto cinco.
Es claro que f t 0 para t 0 (el agente no puede contestar antes de que usted
llame). Para t 0 se indica usar una función que decrece en forma exponencial, es
decir, una función de la forma f t Ae ct , donde A y c son constantes positivas. Así,
f t 0 Ae ct si t 0
si t 0
Se usa la condición 2 para determinar el valor de A:
y
c
f(t)=
0 si t