calculo-de-una-variable-1

292 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
V EJEMPLO 5 Trace una posible gráfica de una función f que cumple con las condiciones
siguientes:
i f x 0 en , 1,
f x 0 en 1,
ii f x 0 en , 2 y 2, ,
f x 0 en 2, 2
iii lím f x 2, lím
x l
f x 0
x l
-2
FIGURA 9
y=_2
y
0 1 2
x
SOLUCIÓN La condición (i) establece que f es creciente en , 1 y decreciente en 1, .
La condición (ii) dice que f es cóncava hacia arriba en , 2 y 2, , y cóncava hacia
abajo en 2, 2. Por la condición (iii) sabe que la gráfica de f tiene dos asíntotas
horizontales: y 2 y y 0.
Primero se dibuja la asíntota horizontal y 2 como una línea discontinua (véase
figura 9). Después trace la gráfica de f, que se aproxima a esta asíntota por la izquierda,
llega a su punto máximo en x 1 y decrece acercándose al eje x a la derecha. También
se tiene la certeza de que la gráfica tiene puntos de inflexión cuando x 2 y 2. Observe
que se hizo que la curva se doble hacia arriba para x 2 y x 2, y se flexiona
hacia abajo cuando x está entre 2 y 2.
y
f
Otra aplicación de la segunda derivada es la siguiente prueba para encontrar los valores
máximo y mínimo. Es una consecuencia de la prueba de concavidad.
fª(c)=0
P
f(c)
ƒ
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA Suponga que f es continua cerca de c.
(a) Si f c 0 y f c 0, entonces f tiene un mínimo relativo en c.
0
c
x
x
(b) Si f c 0 y f c 0, entonces f tiene un máximo relativo en c.
FIGURA 10
f·(c)>0, f es cóncava hacia arriba
Por ejemplo, el inciso (a) es verdadero porque f x 0 cerca de c y, por consiguiente,
f es cóncava hacia arriba cerca de c. Esto significa que la gráfica de f se encuentra
arriba de su tangente horizontal en c, por lo que f tiene un mínimo local en c. (Véase la
figura 10.)
V EJEMPLO 6 Analice la curva y x 4 4x 3 con respecto a la concavidad, puntos de
inflexión y máximos y mínimos locales. Use esta información para dibujar la curva.
SOLUCIÓN Si f x x 4 4x 3 , entonces
f x 4x 3 12x 2 4x 2 x 3
f x 12x 2 24x 12xx 2
A fin de hallar los números críticos, haga fx 0 y obtiene x 0 y x 3. Para aplicar
la prueba de la segunda derivada, evalúe f en estos números críticos:
f 0 0
f 3 36 0
Como f 3 0 y f 3 0, f 3 27 es un mínimo local. Dado que f0 0, la
prueba de la segunda derivada no da información acerca del número crítico 0. Pero como
f x 0 para x 0 y también para 0 x 3, la prueba de la primera derivada dice que
f no tiene máximo ni mínimo locales en 0. [En efecto, la expresión de f x muestra
que f decrece a la izquierda de 3 y se incrementa a la derecha de 3.]