calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
8
P¢
4
P£
2
P
1
A 1 P¡
1. Si f x senx 3 , encuentre f 15 0.
2. Una función f está definida por
f x lím
n l
x 2n 1
x 2n 1
¿Dónde es continua f ?
P∞
FIGURA PARA EL PROBLEMA 4
1
2
3
3. (a) Demuestre que tan 1 2 x cot 1 2 x 2 cot x.
(b) Calcule la suma de la serie
4. Sea Pn una sucesión de puntos determinados de acuerdo con la figura. Por lo tanto, ,
y el ángulo AP nP n1 es un ángulo recto. Calcule lím n l P n AP n1 .
PnPn1 2n1 AP1 1
5. Para construir la curva del copo de nieve, inicie con un triángulo equilátero de lados de longitud
igual a 1. El paso 1 de la construcción consta de dividir cada lado en tres partes iguales,
construir un triángulo equilátero en la parte media y luego borrar la parte media (véase figura).
El paso 2 es repetir el paso 1 en cada lado del polígono resultante. Se repite este procedimiento
en cada paso posterior. La curva del copo de nieve es la curva que resulta de repetir este
proceso indefinidamente.
(a) Sean s n , l n y p n respectivamente el número de lados, la longitud de un lado y la longitud
total de la curva de aproximación n-ésima, es decir, la curva obtenida después del
paso n del trazo. Encuentre fórmulas para s n , l n y p n .
(b) Demuestre que p n l cuando n l .
(c) Sume una serie infinita para encontrar el área encerrada por la curva del copo de nieve.
Los incisos (b) y (c) demuestran que la curva del copo de nieve es infinitamente larga pero encierra
un área finita.
6. Calcule la suma de la serie
donde los términos son los recíprocos de los enteros positivos cuyos únicos factores primos
son 2s y 3s.
7. (a) Demuestre que para xy 1,
n1
1
2 n tan x 2 n
1 1 2 1 3 1 4 1 6 1 8 1 9 1
12
arctan x arctan y arctan x y
1 xy
si el primer miembro queda entre 2 y 2.
(b) Demuestre que
arctan 120
119 arctan 1
239
(c) Deduzca la fórmula siguiente de John Machin (1680-1751):
4 arctan 1 5 arctan 1
239
(d) Aplique la serie de Maclaurin del arctan para demostrar que
4
4
FIGURA PARA EL PROBLEMA 5
(e) Demuestre que
0.197395560 arctan 1 5 0.197395562
0.004184075 arctan 1
239 0.004184077
761