calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 145
Q{a+h, f(a+h)}
y
t
P{a, f(a)}
h f(a+h)-f(a)
0 a a+h
x
FIGURA 3
(Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h 0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo,
si h 0, Q estaría a la izquierda de P.)
Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 (porque h x a) y, de este modo, la
expresión para la pendiente de la recta tangente, que se da en la definición 1, se convierte en
2
m lím
h l 0
f a h f a
h
EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y 3x, en el
punto 3, 1.
SOLUCIÓN Sea fx 3x. Por lo tanto, la pendiente de la tangente en 3, 1 es
y
x+3y-6=0
3
y=
x
m lím
h l 0
f 3 h f 3
h
3
3 h 1
lím
lím
h l 0 h
h l 0
3 3 h
3 h
h
0
(3, 1)
x
h
lím
h l 0 h3 h lím 1
h l 0 3 h
1 3
En consecuencia, una ecuación de la tangente en el punto 3, 1 es
FIGURA 4
y 1 1 3x 3
la cual se simplifica hasta
x 3y 6 0
En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente.
FIGURA 5
s
0
FIGURA 6
posición en el
instante
t=a
0 s
f(a+h)-f(a)
f(a)
P{a, f(a)}
f(a+h)
a
Q{a+h, f(a+h)}
h
posición en el
instante
t=a+h
a+h
f(a+h)-f(a)
m PQ =
h
velocidad promedio
t
VELOCIDADES
En la sección 2.1 se investigó el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la Torre
CN y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio
sobre periodos cada vez más cortos.
En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo
con una ecuación del movimiento s ft, donde s es el desplazamiento (distancia directa)
del objeto respecto al origen, en el instante t. La función f que describe el movimiento se
conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de t a hasta t a h, el
cambio en la posición es fa h fa. (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en
este intervalo de tiempo es
que es lo mismo que la pendiente de la secante PQ en la figura 6.
Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre lapsos a, a h más y más
cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae,
se definió la velocidad (o velocidad instantánea) va en el instante t a como el límite
de estas velocidades promedio:
3
velocidad promedio desplazamiento
tiempo
va lím
h l 0
f a h f a
h
f a h f a
h