calculo-de-una-variable-1

88 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.2
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Luego de ver en la sección anterior cómo surgen los límites cuando desea hallar la tangente
a una curva o la velocidad de un objeto, dirija su atención hacia los límites en general y
los métodos numéricos y gráficos para calcularlos.
Investigue el comportamiento de la función f definida por fx x 2 x 2 para valores
cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de fx para valores de x cercanos
a 2, pero no iguales a 2.
ƒ
tiende a
4
FIGURA 1
y
4
y=≈-x+2
0 2
x
A medida que x tiende a 2
A partir de la tabla y de la gráfica de f (una parábola) que se ilustra en la figura 1,
es claro cuando x está cercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), fx lo está
a 4. De hecho, parece posible acercar los valores de fx a 4 tanto como desee si toma
una x lo suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: “el límite de la función
fx x 2 x 2, cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta expresión
es
En general, se usa la siguiente notación
x fx x fx
1.0 2.000000 3.0 8.000000
1.5 2.750000 2.5 5.750000
1.8 3.440000 2.2 4.640000
1.9 3.710000 2.1 4.310000
1.95 3.852500 2.05 4.152500
1.99 3.970100 2.01 4.030100
1.995 3.985025 2.005 4.015025
1.999 3.997001 2.001 4.003001
lím x 2 x 2 4
x l2
1
DEFINICIÓN
Escriba
lím
x l a f x L
que se expresa como: “el límite de fx cuando x tiende a a, es igual a L”
si podemos acercar arbitrariamente los valores de fx a L (tanto como desee) escogiendo
una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.
En términos generales, esto afirma que los valores de fx se aproximan cada vez más
al número L cuando x se acerca a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x a.
(En la sección 2.4 se proporciona una definición más exacta.)
Una notación alternativa para
lím f x L
x l a
es fx l L cuando x l a
que suele leerse “fx tiende a L cuando x tiende a a”.