calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL |||| A51
y
1
y=exp x
y=x
y=ln x
0 1
x
(Véase figura 6.) El dominio de exp es el rango de ln, es decir, (, ); el rango de exp
es el dominio de ln, es decir, (0, ).
Si r es cualquier número racional, entonces la tercera ley de logaritmos da
Por lo tanto, por (6)
lne r r ln e r
expr e r
Entonces, exp(x) e x siempre que x sea un número racional. Esto lleva a definir e x , incluso
para valores irracionales de x, con la ecuación
FIGURA 6
e x expx
En otras palabras, por las razones dadas, defina e x como la inversa de la función ln x. En
esta notación (6) se convierte en
8
e x y
3
ln y x
y las ecuaciones de cancelación (7) se convierten en
9
e ln x x x 0
10
lne x x
para toda x
y
y=´
La función exponencial natural f(x) e x es una de las funciones que se presentan con
más frecuencia en cálculo y sus aplicaciones, de modo que es importante estar familiarizado
con su gráfica (figura 7) y sus propiedades (que se siguen del hecho de que es la
inversa de la función logarítmica natural).
1
0
1
x
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial f(x) e x es
una función continua creciente con dominio y rango (0, ). Entonces e x 0
para toda x. También
FIGURA 7
La función exponencial natural
lím
x l ex 0
lím
x l ∞ ex
Por lo tanto, el eje x es una asíntota horizontal de f(x) e x .
A continuación se verifica que f tenga las otras propiedades esperadas de una función
exponencial.
11
LEYES DE EXPONENTES Si x y y son números reales y r es racional, entonces
1. e xy e x e y 2. e xy ex
3. e x r e rx
e y