calculo-de-una-variable-1

368 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
Si la longitud del intervalo es x 1 , x 2 ,..., x n , debe asegurarse de que todas estas
longitudes tiendan a 0 en el proceso de detrerminación de límites. Esto sucede si la longitud
más grande, máx x i tiende a 0. De manera que en este caso la definición de una integral
definida se convierte en
y b
f x dx lím
a
máx x i l 0 n f x* i x i
i1
NOTA 5 Ha definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las
funciones son ntegrables (véase ejercicios 67-68). El teorema que sigue muestra que la
mayor parte de las funciones que usualmente acontecen en realidad son integrables. Esto
se comprueba en cursos más avanzados.
3 TEOREMA Si f es continua en [a, b], o si f tiene únicamente un número finito
de saltos discontinuos, entonces f es integrable en [a, b]; es decir, la integral definida
f x dx existe.
y b
a
Si f es integrable en [a, b], entonces el límite en la definición 2 existe y proporciona
el mismo valor, no importa cómo seleccione el punto muestra x*
i . Para
simplificar los cálculos de la integral con frecuencia tomamos los puntos muestra
los extremos de la derecha. Por lo tanto x* i x i y la definición de una integral se
simplifica como sigue.
4
TEOREMA
Si f es integrable en [a, b], entonces
y b
f x dx lím
a
n l
n
f x i x
i1
donde
Δx b a
n
y
x i a i Δx
EJEMPLO 1 Exprese
como una integral en el intervalo 0, .
SOLUCIÓN Al comparar el límite dado con el límite en el teorema 4, será idéntico si
elige f x x 3 x sen x. Puesto que a 0 y b . Por consiguiente, mediante el
teorema 4
lím
n l n
i1
Más adelante, cuando aplique la integral definida a situaciones físicas, será importante
reconocer los límites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando Leibniz eligió
la notación para una integral, escogió los ingredientes para recordar el proceso de tomar
el límite. En general, cuando escribe
x
lím
n l n x 3 i x i sen x i x
i1
lím
n l n
i1
reemplaza lím con , x*
i con x y x con dx.
x 3 i x i sen x i x y x 3 x sen x dx
0
f x* i x y b
f x dx
a