calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 9.6 SISTEMAS DEPREDADOR-PRESA |||| 609
& El matemático italiano Vito Volterra
(1860-1940) propuso las ecuaciones de
Lotka-Volterra como un modelo para explicar
las variaciones en las poblaciones de tiburones
y peces en el Mar Adriático.
Las ecuaciones en (1) se conocen como ecuaciones depredador-presa,o ecuaciones de
Lotka-Volterra. Una solución de este sistema de ecuaciones es un par de funciones Rt
y Wt que describe las poblaciones de presa y depredador como funciones del tiempo. Ya
que el sistema está acoplado (R y W aparecen en ambas ecuaciones), no se puede resolver
una ecuación y luego la otra; se tienen que resolver en forma simultánea. Infortunadamente,
por lo general es imposible hallar fórmulas explícitas para R y W como funciones
de t. Sin embargo, se pueden emplear métodos gráficos para analizar las ecuaciones.
V EJEMPLO 1 Suponga que las poblaciones de conejos y lobos se describen mediante las
ecuaciones de Lotka-Volterra (1) con k 0.08, a 0.001, r 0.02 y b 0.00002. El
tiempo t se mide en meses.
(a) Encuentre las soluciones constantes (llamadas soluciones de equilibrio) e interprete
la respuesta.
(b) Use el sistema diferencial de ecuaciones con el fin de hallar una expresión para
dWdR.
(c) Dibuje un campo direccional para la ecuación diferencial resultante en el plano-RW.
Después use ese campo direccional para hallar algunas curvas solución.
(d) Suponga que, en algún punto del tiempo, hay 1 000 conejos y 40 lobos. Dibuje la
curva solución correspondiente y empléela para describir los cambios en ambos niveles
de población.
(e) Use el inciso (d) para bosquejar R y W como funciones de t.
SOLUCIÓN
(a) Con los valores dados de k, a, r y b, las ecuaciones de Lotka-Volterra se convierten
en
dR
0.08R 0.001RW
dt
dW
dt
0.02W 0.00002RW
Tanto R como W serán constantes si ambas derivadas son 0, es decir,
R R0.08 0.001W 0
W W0.02 0.00002R 0
Una solución se determina mediante R 0 y W 0. (Esto tiene sentido: si no hay conejos
o lobos, las poblaciones no se incrementan.) La otra solución constante es
W 0.08
0.001 80
R 0.02
0.00002 1 000
Así que las poblaciones de equilibrio constan de 80 lobos y 1 000 conejos. Esto significa
que 1 000 conejos son suficientes para soportar una población constante de 80 lobos. No
hay ni muchos lobos (lo cual daría como resultado menos conejos) ni pocos lobos (lo
que produciría más conejos).
(b) Se usa la regla de la cadena para eliminar t:
por consiguiente,
dW
dW
dR dt
dR
dt
dW
dt
dW
dR
dR
dt
0.02W 0.00002RW
0.08R 0.001RW