calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.2 VOLÚMENES |||| 423
Divida S en n “rebanadas” del mismo ancho x mediante los planos P x1 ,
P x2 ,...(Para rebanar el sólido imagine que está rebanando una hogaza de pan.) Si elige
puntos muestrales x*
i en x i1 , x i , puede tener un valor aproximado de la i-ésima rebanada
S i (la parte de S que queda entre los planos P xi1 y P xi ) con un cilindro cuya base tiene un
área Ax*
i y “altura” x. (Véase figura 3.)
y
Îx
0 a
x* i
b x
S
x i-1
x i
y
0 a=x¸ ⁄ ¤ ‹ x¢
x∞ xß x=b x
FIGURA 3
El volumen de este cilindro es Ax* i x de modo que una aproximación a la concepción
intuitiva del volumen de la i-ésima rebanada es.
VS i Ax i * x
Al sumar los volúmenes de las rebanadas, llega a un valor aproximado del volumen total,
es decir, a lo que piensa intuitivamente que es un volumen:
V n
i1
S i
Ax i * x
& Se puede comprobar que esta definición
es independiente de donde S se ubica con
respecto al eje x. En otras palabras, no importa
cómo corte las rebanadas mediante planos
paralelos, siempre obtendrá la misma
respuesta para V.
y
Esta aproximación parece ser cada vez mejor cuando n l . (Considere que las rebanadas
cada vez son más delgadas.) Por lo tanto, defina al volumen como el límite de estas sumas
cuando n l . Pero debe reconoce el límite de las sumas de Riemann como una
integral definida y por eso tiene la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE VOLUMEN Sea S un sólido que está entre x a y x b. Si el área
de la sección transversal de S en el plano P x , a través de x y perpendicular al eje x, es
Ax, donde A es una función continua, entonces el volumen de S es
V lím
n l
n
i1
Ax* i x y b
Ax dx
a
_r r x
FIGURA 4
Cuando aplica la fórmula del volumen V x b Ax dx es importante recordar que Ax
a
es el área de una sección transversal que se obtiene al cortar a través de x con un plano
perpendicular al eje x.
Observe que, en el caso de un cilindro, el área de la sección transversal es constante:
Ax A para toda x. De este modo, la definición de volumen da V x b A dx Ab a;
a
esto concuerda con la fórmula V Ah.
EJEMPLO 1 Demuestre que el volumen de una esfera de radio r es
V 4 3r 3