calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.5 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN |||| 445
6.5
EJERCICIOS
1–8 Determine el valor promedio de la función en el intervalo
dado.
17.
En una cierta ciudad la temperatura (en F) t horas después de
las 9 A.M. se modeló mediante la función
1. f x 4x x 2 , 0, 4 2.
3. tx sx,
3 1, 8 4.
fx sen 4x, ,
tx x 2 s1 x 3 ,
0, 2
Tt 50 14 sen
t
12
5.
6.
7.
8.
f t te t 2 ,
9–12
(a) Calcule el valor promedio de f en el intervalo dado.
(b) Encuentre c tal que f prom f c.
(c) Grafique f y el rectángulo cuya área es la misma que el área
bajo la gráfica de f.
10. f x sx,
; 11. f x 2 sen x sen 2x,
0,
; 12. f x 2x1 x 2 2 , 0, 2
13. Si f es continua y x 3 f x dx 8, demuestre que f toma el valor
1
de 4 por lo menos una vez en el intervalo 1, 3.
14. Determine los números b tales que el valor promedio de
f x 2 6x 3x 2 en el intervalo 0, b es igual a 3.
15. La tabla da valores de una función continua. Mediante la regla
del punto medio estime el valor promedio de f en 20, 50.
16. Se muestra la gráfica de velocidad de un automóvil que acelera.
(a) Estime la velocidad promedio del automóvil durante los
primeros 12 segundos.
(b) ¿En qué momento la velocidad instantánea fue igual a la
velocidad promedio?
√
(km/h)
60
40
20
0, 5
f sec 2 /2, 0, 2
hx cos 4 x sen x, 0,
hu 3 2u 1 ,
9. f x x 3 2 ,
0, 4
1, 1
2, 5
x 20 25 30 35 40 45 50
f x
42 38 31 29 35 48 60
0 4 8 12 t (segundos)
Calcule la temperatura promedio durante el periodo de 9 AM
hasta 9 P.M.
18. (a) Una taza de café tiene una temperatura de 95°C y le toma
30 minutos enfriarse a 61°C en una habitación con una
temperatura de 20°C. Utilice la ley del enfriamiento de
Newton (sección 3.8) para demostrar que la temperatura
del café después de t minutos es.
donde k ≈ 0.02.
(b) ¿Cuál es la temperatura promedio del café durante la primera
media hora?
19. La densidad lineal de una varilla de 8 m de longitud es
12sx 1 kgm, donde x se mide en metros desde un extremo
de la varilla. Determine la densidad promedio de la varilla.
20. Si un cuerpo en caída libre parte del reposo, después su
desplazamiento está de acuerdo con s 1 2 tt 2 . Sea la velocidad
v T después del tiempo T. Demuestre que si calcula el
promedio de las velocidades con respecto a t obtiene
v prom 1 2 v T ,pero si calcula el promedio de las velocidades con
respecto a s obtiene v prom 2 3 v T .
21. Con el resultado del ejercicio 79 de la sección 5.5 calcule el
volumen promedio de aire inhalado en los pulmones en un
ciclo respiratorio.
22. La velocidad v de la sangre que fluye en un vaso sanguíneo de
radio R y longitud l a una distancia r desde el eje central es
donde P es la diferencia de presión entre los extremos del
vaso y es la viscosidad de la sangre (véase ejemplo 7 de la
sección 3.7). Determine la velocidad promedio (con respecto a
r) en el intervalo 0 r R. Compare la velocidad promedio
con la velocidad máxima.
vr
23. Demuestre el teorema del valor medio para integrales aplicando
el teorema del valor medio para derivadas (véase sección 4.2) a
la función Fx x x f t dt.
a
24. Si f proma, b denota el valor promedio de f en el intervalo
a, b y a c b, demuestre que
f proma, b c a
b a
Tt 20 75e kt
P
4l R2 r 2
fproma, c
b c
b a
fpromc, b