calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR ECUACIONES PARAMÉTRICAS |||| 623
EJEMPLO 4 Encuentre ecuaciones paramétricas para la circunferencia con centro (h, k)
y radio r.
SOLUCIÓN Si toma las ecuaciones de la circunferencia unitaria del ejemplo 2 y multiplica
por r las expresiones para x y y, obtiene x r cos t, y r sen t. Se puede verificar que
estas ecuaciones representan un círculo con radio r y centrar el origen trazado en sentido
contrario a las manecillas del reloj. Ahora desplace h unidades en la dirección x y k
unidades en la dirección y para obtener ecuaciones paramétricas de la circunferencia
(figura 6) con centro (h, k) y radio r:
x h r cos t y k r sen t 0 t 2p
y
r
(h, k)
FIGURA 6
x=h+r cos t, y=k+r sen t 0
x
(_1, 1)
y
(1, 1)
V
EJEMPLO 5 Bosqueje la curva con ecuaciones paramétricas x sen t, y sen 2 t.
FIGURA 7
0
x
SOLUCIÓN Observe que y sen t 2 x 2 y, por lo tanto, el punto x, y se mueve sobre
la parábola y x 2 . Sin embargo, note también que, como 1 sen t 1, se tiene
1 x 1; así, las ecuaciones paramétricas representan sólo la parte de la parábola para
la cual 1 x 1. Debido a que sen t es periódica, el punto x, y sen t, sen 2 t se mueve
en vaivén de manera infinita a lo largo de la parábola de 1, 1 a 1, 1. Véase
figura 7.
x
TEC Module 10.1A da una animación de la
relación entre movimiento a lo largo de una
curva paramétrica x f t, y tt y el movimiento
a lo largo de las gráficas de f y t como
funciones de t. Con un clic en TRIG se obtiene la
familia de curvas paramétricas
x=cos t
x a cos bt
y c sen dt
Si elige a b c d 1 y da clic en START,
se verá cómo las gráficas de x cos t y
y sen t se relacionan con el círculo del
ejemplo 2. Si elige a b c 1, d 2,
verá gráficas como en la figura 8. Si se da clic
en animación ó movimiento t hacia la derecha,
se puede ver del código de colores cómo el
movimiento de las gráficas de x cos t y
y sen 2t corresponde al movimiento a lo
largo de la curva paramétrica, la cual se llama
figura de Lissajous.
y
t
x
y
t
FIGURA 8
x=cos t
y=sen 2t
y=sen 2t