calculo-de-una-variable-1

A58 |||| APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS
La forma polar de números complejos da idea de la multiplicación y la división. Sean
z 1 r 1 cos 1 i sen 1
z 2 r 2 cos 2 i sen 2
dos números complejos escritos en forma polar. Entonces
z 1 z 2 r 1 r 2 cos 1 i sen 1cos 2 i sen 2
r 1 r 2 cos 1 cos 2 sen 1 sen 2 isen 1 cos 2 cos 1 sen 2
z
Im
z¡
Por lo tanto, usando las fórmulas de la adición para coseno y seno
¨
¨¡
1
z 1 z 2 r 1 r 2 cos1 2 i sen1 2
z¡z
¨¡+¨
FIGURA 6
Re
Esta fórmula dice que para multiplicar dos números complejos multiplique los módulos y
sume los argumentos. (Véase Figura 6.)
Un argumento similar que usa las fórmulas de la sustracción para seno y coseno muestra
que, para dividir dos números complejos, divida los módulos y reste los argumentos.
z 1
r 1
cos1 2 i sen1 2
z 2 r 2
z 2 0
Im
r
z
2
En particular, tomando z 1 1 y z 2 z (y por lo tanto 1 0 y ), tiene lo siguiente,
que se ilustra en la figura 7.
0
¨
_¨
1
r
1
z
Re
Si
z rcos i sen ,
entonces
1
z 1 r cos i sen .
FIGURA 7
EJEMPLO 5 Encuentre el producto de los números complejos 1 i y s3 i en forma
polar.
Im
0
œ„2
2
z=1+i
2œ„2
π
12
zw
Re
w=œ„3-i
SOLUCIÓN Del ejemplo 4
y
Entonces, por la ecuación 1,
1 i s2 cos
s3 i 2cos i sen
6
1 i(s3 i) 2s2 cos
4
2s2 cos
12 12
i sen
4 i sen
6 i sen
4
6
4
6
FIGURA 8
Esto se ilustra en la figura 8.