calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
CAS
1. Una curva se define mediante las ecuaciones paramétricas
x y t
1
cos u
u
du
y y t
Encuentre la longitud del arco de la curva desde el origen hasta el punto más próximo donde
hay una línea tangente vertical.
2. (a) Encuentre los puntos máximo y mínimo de la curva x 4 y 4 x 2 y 2 .
(b) Bosqueje la curva. Observe que es simétrica con respecto a ambos ejes y ambas líneas
y x, así que es suficiente considerar inicialmente y x 0).
(c) Emplee coordenadas polares y un sistema algebraico computacional para hallar el área encerrada
por la curva.
; 3. ¿Cuál es el rectángulo de visión más pequeño que contiene a cada miembro de la familia de
curvas polares r 1 c sen , donde 0 c 1? Ilustre su respuesta graficando varios
miembros de la familia en este rectángulo de visión.
4. Se colocan cuatro insectos en cuatro esquinas de un cuadrado con longitud a. Los insectos
avanzan en sentido contrario a las manecillas del reloj a la misma rapidez, y cada uno avanza
directamente hacia el siguiente insecto todo el tiempo. Se aproximan al centro del cuadrado a
lo largo de trayectorias en espiral.
(a) Obtenga la ecuación polar de una trayectoria de insecto al suponer que el polo está en el
centro del cuadrado. Use el hecho de que la línea que une a un insecto con el siguiente es
tangente a la trayectoria del insecto.
(b) Determine la distancia que recorre un insecto en el momento que se encuentra con los
otros insectos en el centro.
a
1
sen u
u
du
a
a
5. Una curva llamada folio de Descartes se define mediante las ecuaciones paramétricas
a
x
3t y 3t 2
1 t 3 1 t 3
(a) Demuestre que si a, b está sobre la curva, entonces lo está b, a; es decir, la curva es
simétrica con respecto a la línea y x. ¿Dónde la curva corta a esta línea?
(b) Determine los puntos sobre la curva donde las líneas tangentes son horizontales o verticales.
(c) Demuestre que la línea y x 1 es una asíntota inclinada.
(d) Bosqueje la curva.
(e) Demuestre que una ecuación cartesiana de esta curva es x 3 y 3 3xy.
(f) Muestre que la ecuación polar se puede escribir en la forma
CAS
r 3 sec tan
1 tan 3
(g) Encuentre el área encerrada por el bucle de esta curva.
(h) Demuestre que el área del bucle es la misma que el área que yace entre la asíntota y las
ramas infinitas de la curva. (Use un sistema algebraico computacional para evaluar la
integral.)
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