calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 9.5 ECUACIONES LINEALES |||| 605
& Aun cuando las soluciones de la ecuación
diferencial del ejemplo 3 se pueden expresar en
términos de una integral, se pueden graficar
todavía mediante un sistema algebraico
computacional (figura 3).
2.5
C=2
_2.5 2.5
_2.5
C=_2
Recuerde de la sección 7.5 que x e x 2 dx no se puede expresar en términos de funciones
elementales. Sin embargo, es una función perfectamente buena y se puede dejar la
respuesta como
Otra forma de escribir la solución es
y e x 2 y e x 2 dx Ce x 2
y e x 2 y x
e t 2 dt Ce x 2
(Se puede elegir cualquier número para el límite de integración inferior.)
0
FIGURA 3
APLICACIÓN A CIRCUITOS ELÉCTRICOS
E
FIGURA 4
R
interruptor
L
En la sección 9.2 se consideró el circuito eléctrico simple mostrado en la figura 4: una
fuerza electromotriz (por lo común, una batería o generador) produce un voltaje de Et
volts (V) y una corriente de It amperes (A) en el tiempo t. El circuito también contiene
un resistor con una resistencia de R ohms ( ) y un inductor con una inductancia de L
henries (H).
La ley de Ohm da la caída de voltaje debida al resistor como RI. La caída de voltaje
debida al inductor es LdIdt. Una de las leyes de Kirchhoff dice que la suma de las
caídas de voltaje es igual al voltaje suministrado Et. Así, se tiene
L dI
7 RI Et
dt
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. La solución da la corriente I en el
tiempo t.
V EJEMPLO 4 Suponga que en el circuito simple de la figura 4 la resistencia es 12 y
la inductancia es 4 H. Si una batería da un voltaje constante de 60 V y el interruptor se
cierra cuando t 0 de modo que la corriente empieza con I0 0, encuentre (a) It,
(b) la corriente después de 1 s y (c) el valor límite de la corriente.
& La ecuación diferencial del ejemplo 4 es
lineal y separable, así que un método alternativo
es resolverla como una ecuación separable
(ejemplo 4 de la sección 9.3). Sin embargo,
si se reemplaza la batería por un generador,
se obtiene una ecuación que es lineal pero
no es separable (ejemplo 5).
SOLUCIÓN
(a) Si se escribe L 4, R 12, y Et 60 en la ecuación 7, se obtiene el problema con
valores iniciales
o bien,
dI
4 12I 60 I0 0
dt
dI
I0 0
dt 3I 15
Al multiplicar por el factor de integración e x 3 dt e 3t , se obtiene
3t
dI
e
dt 3e 3t I 15e 3t
d
dt e 3t I 15e 3t
e 3t I y 15e 3t dt 5e 3t C
It 5 Ce 3t