calculo-de-una-variable-1

648 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
7–12 Bosqueje la región en el plano que consta de los puntos cuyas
coordenadas polares satisfacen las condiciones dadas.
7. 1 r 2
8. r 0,
3
9. 0 r 4,
2
10. 2 r 5,
34
11. 2 r 3,
12. r 1,
2
23
6
54
53
73
13. Encuentre la distancia entre los puntos con coordenadas
polares 2, 3 y 4, 23.
14. Obtenga una fórmula para la distancia entre los puntos con
coordenadas polares r 1, 1 y r 2, 2.
15–20 Identifique la curva mediante la determinación de una ecuación
cartesiana para la curva..
15. r 2
16. r cos 1
17. r 3 sen
18. r 2 sen 2 cos
19. r csc
20. r tan sec
21–26 Encuentre una ecuación polar para la curva representada por
la ecuación cartesiana dada.
21. x 3
22. x 2 y 2 9
23. x y 2 24. x y 9
25. x 2 y 2 2cx
26. xy 4
27–28 Para cada una de las curvas descritas, decida mediante qué
ecuación, polar o cartesiana, se expresaría con más facilidad. Después
escriba una ecuación para la curva.
27. (a) Una línea por el origen que forma un ángulo de p6 con el
eje x positivo.
(b) Una línea vertical por el punto 3, 3
28. (a) Un círculo con radio 5 y centro 2, 3
(b) Un círculo centrado en el origen con radio 4
29–48 Bosqueje la curva con la ecuación polar dada.
43. r 2 9 sen 2
44. r 2 cos 4
45. r 2 cos 32
46. r 2 1
47. r 1 2 cos 2
48. r 1 2 cos2
49–50 En la figura se muestra la gráfica de r como una función de
u en coordenadas cartesianas. Empléela para bosquejar la curva
polar correspondiente.
49.
r
2
1
0 π 2π
51. Demuestre que la curva polar r 4 2 sec u llamada concoide
tiene a la línea x 2 como una asíntota vertical mostrando
que lím r l x 2. Use este hecho para ayudar a bosquejar la
concoide.
52. Demuestre que la curva r 2 csc también una concoide
tiene a la línea y 1 como una asíntota horizontal mostrando
que lím r l y 1. Use este hecho para ayudar a bosquejar
la concoide.
53. Muestre que la curva r sen tan (llamada cisoide de Diocles)
tiene la línea x 1 como una asíntota vertical. Demuestre
también que la curva yace por completo dentro de la tira vertical
0 x 1. Use estos hechos para ayudar a bosquejar la cisoide.
54. Bosqueje la curva x 2 y 2 3 4x 2 y 2 .
55. (a) En el ejemplo 11 las gráficas hacen pensar que el caracol
r 1 c sen tiene un bucle interno cuando c 1.
Demuestre que esto es cierto y determine los valores de u
que corresponden al bucle interior.
(b) De la figura 19 se ve que el limaçon pierde su hoyuelo
cuando c 1 2. Demuestre esto.
56. Compare las ecuaciones polares con las gráficas I-VI. Dé razones
para sus elecciones. (No use un dispositivo de graficación.)
(a) r s , 0
(b) r , 0
(c) r cos3
(d) r 1 2 cos
(e) r 2 sen 3
(f) r 1 2 sen 3
16
50.
2
I II III
¨
r
2
0 π 2π ¨
_2
16
6
29. 30.
r 2 3r 2 0
31. r sen
32. r 3 cos
33. r 21 sen , 34. r 1 3 cos
0
0
1
35. r , 36. r ln ,
37. r 4 sen 3
38. r cos 5
39. r 2 cos 4
40. r 3 cos 6
41. r 1 2 sen
42. r 2 sen
IV V VI