calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.5 PROBABILIDAD |||| 561
8.
(a) Explique por qué la función cuya gráfica se muestra es una
función de densidad de probabilidad.
(b) Use la gráfica para hallar las siguientes probabilidades:
(i) PX 3 (ii) P3 X 8
(c) Calcule la media.
9. Muestre que el tiempo de espera promedio para una llamada
telefónica a la compañía descrita en el ejemplo 4 sea de
alrededor de 3.5 minutos.
10. (a) Cierta clase de lámpara lleva una marca que indica una
duración promedio de 1 000 horas. Es razonable modelar
la probabilidad de falla de estas lámpara mediante una función
de densidad exponencial con media . Use
este modelo para hallar la probabilidad de que la lámpara
(i) falle dentro de las primeras 200 horas,
(ii) se quema para más de 800 horas.
(b) ¿Cuál es la duración promedio de estas lámpara?
11. El administrador de un restaurante de comida rápida determina
que el tiempo promedio que sus clientes esperan a ser atendidos
es 2.5 minutos.
(a) Encuentre la probabilidad de que un cliente tenga que esperar
durante más de 4 minutos.
(b) Encuentre la probabilidad de que un cliente sea atendido
dentro de los primeros dos minutos.
(c) El administrador quiere anunciar que cualquier persona que
no sea atendida dentro de cierto número de minutos, tiene
derecho a una hamburguesa gratis. Pero no quiere dar
hamburguesas gratis a más de 2% de sus clientes. ¿Qué
debe decir el anuncio?
12. De acuerdo con la National Health Survey, las alturas de
varones adultos en Estados Unidos tienen una distribución
normal con media de 69.0 pulgadas y desviación estándar de
2.8 pulgadas.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un varón adulto elegido al
azar tenga una estatura de entre 65 y 73 pulgadas?
(b) ¿Qué porcentaje de la población de varones adultos tiene
una estatura de más de 6 pies?
13.
y
0.2
0.1
0 2
y=ƒ
4 6 8 10 x
1 000
El “Proyecto basura” en la Universidad de Arizona informa que
la cantidad de papel que se desecha en los hogares por semana
tiene una distribución normal con media de 9.4 lb y desviación
estándar de 4.2 lb. ¿Qué porcentaje de los hogares tira por lo
menos 10 lb de papel a la semana?
14. El contenido de unas cajas de cereal indica 500 g. La
máquina que llena las cajas produce pesos que tienen una
distribución normal con desviación estándar 12 g.
(a) Si el peso objetivo es 500 g, ¿cuál es la probabilidad de
que la máquina produzca una caja con menos de 480 g
de cereal?
(b) Suponga que una ley establece que no más de 5% de las
cajas de cereal de un fabricante puede contener menos del
peso establecido de 500 g. ¿En qué peso objetivo debe fijar el
fabricante su máquina de llenado?
15. Las magnitudes de la rapidez de los vehículos en una
autopista con límite de velocidad de 100 km/h usualmente
están distribuidas con una media de 112 km/h y una
desviación estándar de 8 km/h.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo elegido al azar
esté viajando con una velocidad dispuesta por ley?
(b) Si los policías están instruidos para infraccionar a los
automovilistas que conduzcan a 125 km/h o más, que
porcentaje de automovilistas están señalados.
16. Demuestre que la función de densidad de probabilidad para
una variable usualmente distribuida tiene puntos de inflexión
en x ± .
17. Para cualquier distribución normal, encuentre la probabilidad de
que la variable aleatoria se localice dentro de dos desviaciones
estándar de la media.
18. La desviación estándar para una variable aleatoria con función
de densidad de probabilidad f y media se define por
y
Encuentre la desviación estándar para una función de densidad
exponencial con media .
19. El átomo de hidrógeno se compone de un protón en el núcleo
y un electrón, que se mueve respecto al núcleo. En la teoría
cuántica de la estructura atómica, se supone que el electrón no
se mueve en una órbita bien definida. En cambio, ocupa un
estado conocido como orbital, que se puede considerar como
una “nube” de carga negativa en torno al núcleo. En el estado
de menor energía, llamado estado basal,u orbital 1s, la forma de
esta nube se supone como una esfera centrada en el núcleo.
Esta esfera se describe en términos de la función de densidad
de probabilidad
pr 4 r 2 e 2ra 0 r 0
a 3 0
donde a es el radio de Bohr a 0 5.59 10 11 0 m. La
integral
Pr y r
x 2 f x dx12
0
da la probabilidad de que el electrón se encuentre dentro de la
esfera de radio r metros centrada en el núcleo.
(a) Compruebe que pr es una función de densidad de
probabilidad.
(b) Determine el lím r l pr. ¿Para qué valor de r la
expresión pr tiene su valor máximo?
; (c) Grafique la función de densidad.
(d) Encuentre la probabilidad de que el electrón esté dentro de
la esfera de radio 4a 0 centrada en el núcleo.
(e) Calcule la distancia media del electrón desde el núcleo en
el estado basal del átomo de hidrógeno.
4
a 3 0
s 2 e 2sa 0 ds