calculo-de-una-variable-1

60 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
No todas las funciones poseen inversas. Compare las funciones f y t cuyos diagramas de
flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca adopta el mismo valor dos veces
(dos entradas cualesquiera en A tienen salidas diferentes), en tanto que t adopta el mismo
valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma salida, 4).
En símbolos,
t2 t3
pero
f x 1 f x 2
siempre que x 1 x 2
Las funciones que comparten esta función con f se llaman funciones uno a uno.
4
10
4
10
3
2
7
4
3
2
4
FIGURA 1
f es uno a uno; g no lo es
1
A
f
2
B
1
A
g
2
B
& En el lenguaje de entradas y salidas,
esta definición dice que f está uno a uno si
cada salida corresponde a sólo una entrada.
1 DEFINICIÓN A una función f se le llama función uno a uno si nunca toma el
mismo valor dos veces; es decir,
f x 1 f x 2 siempre que x 1 x 2
Si una línea horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, como es el caso de
la figura 2 existen números x 1 y x 2 tales que f x 1 f x 2 . Esto significa que f no está
uno a uno. Debido a eso tenemos el método geométrico siguiente para determinar si una
función es uno a uno.
y
y=ƒ
fl
‡
FIGURA 2
Esta función no es uno a uno
porque f(⁄)=f(¤)
0
⁄ ¤
x
y
0
y=˛
x
PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna
línea horizontal interseca su gráfica más de una vez.
V EJEMPLO 1 ¿La función f x x 3 es uno a uno?
SOLUCIÓN 1 Si x , entonces x1 3 x 3 1 x 2 2
(dos números distintos no pueden tener el mismo
cubo). Por lo tanto, por la definición 1, f x x 3 es uno a uno.
FIGURA 3
ƒ=˛ es uno a uno
SOLUCIÓN 2 En la figura 3 ve que ninguna línea horizontal interseca la gráfica de f x x 3
más de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, f es uno
a uno.