calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES |||| 665
x=_5
(directriz)
FIGURA 3
(2, π)
y
r= 10
3-2 cos ¨
foco
0 (10, 0) x
Del teorema 6 se ve que ésta representa una elipse con e 2 . Puesto que ed 10 3
3 ,
se tiene
10 10
3
d
e 3
5
de tal manera, la directriz tiene la ecuación cartesiana x 5. Cuando , r 10;
cuando , r 2. Por eso, los vértices tienen coordenadas polares 10, 0 y 2, .
La elipse se bosqueja en la figura 3.
2
3
0
12
EJEMPLO 3 Bosqueje la cónica r
.
2 4 sen
SOLUCIÓN Al escribir la ecuación en la forma
r
6
1 2sen
se ve que la excentricidad es e 2 y, por lo tanto, la ecuación representa una hipérbola.
Puesto que ed 6, d 3 y la directriz tiene ecuación y 3. Los vértices ocurren cuando
y 32, de modo que son 2, 2 y 6, 32 6, 2. También
es útil graficar las intersecciones con el eje x. Éstas ocurren cuando , ; en ambos
casos r 6. Para más exactitud, se podrían dibujar las asíntotas. Note que r l
cuando 1 2 sen u l 0 o 0 y 1 2sen 0 cuando sen 1 2. Así, las asíntotas
son paralelas a los rayos y . La hipérbola se bosqueja en la
figura 4.
2
76
116
0
y
π
”6, 2’
π
”2, 2 ’
y=3 (directriz)
FIGURA 4
r= 12
2+4 sen ¨
(6, π) 0 (6, 0)
foco
x
11
10
r= 3-2 cos(¨ π/4)
Al hacer girar secciones cónicas, se encuentra mucho más conveniente usar ecuaciones
polares que cartesianas. Se usa el hecho véase el ejercicio 75 de la sección 10.3 de que
la gráfica de r f es la gráfica de r f rotada en sentido contrario a las manecillas
del reloj respecto al origen por un ángulo .
V EJEMPLO 4 Si la elipse del ejemplo 2 se hace girar por un ángulo 4 respecto al origen,
determine una ecuación polar y grafique la elipse resultante.
SOLUCIÓN Se obtiene la ecuación de la elipse rotada reemplazando con
ecuación dada en el ejemplo 2. Así que la nueva ecuación es
4
en la
_5 15
FIGURA 5
_6
r= 10
3-2 cos ¨
r
10
3 2cos 4
Se usa esta ecuación para hacer la gráfica de la elipse rotada en la figura 5. Observe que
la elipse ha sido rotada respecto a su foco izquierdo.