calculo-de-una-variable-1

742 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Esta serie se denomina serie binomial. Si su n-ésimo término es a n , entonces
a n1
a n
k(k 1) (k n 1)(k n)xn1
n 1!
k n 1
n 1
k x n
1 1 n
x l x
n!
k(k 1) (k n 1)x
n
es n l
Entonces, por la prueba de la razón, la serie binomial converge si x 1 y diverge
si x 1.
La notación tradicional para los coeficientes de la serie binomial es
n k k(k 1)(k 2) (k n 1)
n!
y los números se llaman coeficientes del binomio.
El siguiente teorema expresa que (1 x) k es igual a la suma de su serie Maclaurin. Es
posible demostrar esto al probar que el término restante R n (x) se aproxima a 0, pero esto
resulta ser muy difícil. La prueba resumida en el ejercicio 71 es mucho más fácil.
17
SERIE BINOMIAL
Si k es cualquier número real y x 1, entonces
(1 x) k
n0
nx k k(k 1) k(k 1)(k 2)
n 1 kx x 2 x 3
2!
3!
Aun cuando la serie binomial siempre converge cuando x 1, la pregunta de si converge
o no en los extremos, 1, depende del valor de k. Resulta que la serie converge
en 1 si 1 k 0 y en ambos extremos si k 0. Nótese que si k es un entero positivo
y n k, entonces la expresión para k n contiene un factor (k k), de modo que n k 0
para n k. Esto significa que la serie termina y reduce el teorema del binomio ordinario
cuando k es un entero positivo. (Véase la página de referencia 1.)
V EJEMPLO 9 Encuentre la serie de Maclaurin para la función
radio de convergencia.
f(x)
1
s4 x
y su
SOLUCIÓN Escriba f(x) de forma que pueda usar la serie binomial:
1
s4 x 1
41 x 4 1
241 x 4 1 2
1 x 412