calculo-de-una-variable-1

750 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Hay tres métodos posibles para estimar el tamaño del error:
1. Si cuenta con una calculadora que trace gráficas o una computadora, la puede usar
para dibujar R nx y de ahí estimar el error.
2. Si sucede que la serie es alternante, puede aplicar el teorema de estimación de la
serie alternante.
3. En todos los casos puede aplicar la desigualdad de Taylor (Teorema 11.10.9), el
cual establece que si
, por lo tanto
V EJEMPLO 1
(a) Obtenga una aproximación de la función f x s 3 x por medio del polinomio de
Taylor de grado 2 en a 8.
(b) ¿Qué tan exacta es esta aproximación cuando 7 x 9?
SOLUCIÓN
(a)
En estos términos, el polinomio de Taylor de segundo grado es
La aproximación deseada es
T 2 x f 8 f 8
1!
2 1 12x 8 1
288x 8 2
s 3 x T 2 x 2 1 12x 8 1
288x 8 2
(b) La serie de Taylor no es alternante cuando x 8, de modo que no puede aplicar el
teorema de estimación de la serie alternante en este ejemplo. Pero sí puede usar la desigualdad
de Taylor con n 2 y a 8:
f x M R 2x M 3! x 8 3
donde . Como x 7, tiene x 83 7 83 y de esa manera
f x 10
27 1 10
83
x 27 1
83
0.0021
7
Por lo tanto, puede hacer M 0.0021. Asimismo, 7 x 9, de modo que
1 x 8 1 y
. Después la desigualdad de Taylor da
x 8 1
f n1 x M
R nx
f x s 3 x x 13 f 8 2
f x 1 3 x 23 f 8 1 12
f x 2 9 x 53 f 8 1
144
f x 10
27 x 83
R 2x 0.0021
3!
M
n 1! x a n1
x 8 f 8
2!
1 3 0.0021
6
x 8 2
0.0004
En estos términos, si 7 x 9, la aproximación en el inciso (a) no difiere en más
de 0.0004 del valor real.