calculo-de-una-variable-1

A60 |||| APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS
Del hecho que seno y coseno tienen periodo
y entonces
n 2k
o bien
, se deduce que
Como esta expresión da un valor diferente de w para k 0, 1, 2, ..., n 1,tiene lo
siguiente.
2
2k
1ncos
2k 2k
w r i sen
n n
n
3 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea z rcos i sen y sea n un entero
positivo. Entonces z tiene las n raíces distintas n-ésimas
donde k 0, 1, 2, ..., n 1.
1ncos 2k 2k
w k r i sen
n n
Note que cada una de las n-ésimas raíces de z tiene un módulo . Así, todas
las n-ésimas raíces de z están en el círculo de radio r 1n del plano complejo. También, como
el argumento de cada n-ésima raíz sucesiva excede al argumento de la raíz previa en
2n, las n-ésimas raíces de z están igualmente espaciadas en este círculo.
EJEMPLO 7 Encuentre las seis raíces sextas de z 8 y grafique estas raíces en el plano
complejo.
SOLUCIÓN En forma trigonométrica, z 8cos i sen . Si aplica la ecuación 3 con
n 6, obtiene
w k 8 16cos i sen
6
6
2k
2k
w k r 1n
w
Im
œ„2i
w¡
w¸
Obtiene las seis raíces sextas de 8 al tomar k 0, 1, 2, 3, 4, 5 en esta fórmula:
w 0 8 16cos 6 i sen s2
6
s3
2 1 2 i
w 1 8 16cos 2 i sen s2 i
2
5 5
w 2 816cos i sen s2
s3
6 6 2 1 2 i
7 7
w 3 816cos i sen s2
s3
6 6 2 1 2 i
_œ„2
0
œ„2
w£
_œ„2i
w¢
w∞
Re
3 3
w 4 816cos i sen s2 i
2 2
11
w 5 816cos i sen 11 s2 s3
6
6
2 1 2 i
FIGURA 9
Las seis raíces sextas de z=_8
Todos estos puntos se encuentran en el círculo de radio s2 como se muestra en la
figura 9.