calculo-de-una-variable-1

386 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
EJEMPLO 7 Evalúe y 6 dx
.
3 x
SOLUCIÓN La integral dada es una forma abreviada de
y 6
3
1
x dx
Una antiderivada de f x 1x es y, como 3 x 6, puede escribir
Fx ln x. De tal manera,
Fx ln x
y 6
3
1
x dx ln x] 6 3 ln 6 ln 3
y
1
y=cos x
ln 6 3 ln 2
EJEMPLO 8 Calcule el área bajo la curva coseno desde 0 hasta b, donde 0 b 2.
0
área=1
π
2
x
SOLUCIÓN Puesto que una antiderivada de
f x cos x es Fx sen x
A y b
0
cos xdx sen x] 0 b sen b sen 0 sen b
FIGURA 9
En particular, al hacer b 2, ha comprobado que el área bajo la curva coseno
desde 0 hasta 2 es sen 2 1. Véase figura 9.
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Cuando el matemático francés Gilles de Roberval calculó por vez primera el área bajo
las curvas seno y coseno en 1635, era una empresa que requería aplicar todo el ingenio del
que fuera uno capaz. Si no tuviera la ventaja del teorema fundamental tendría que calcular
un difícil límite de sumas mediante identidades trigonométricas rebuscadas (oscuras), o
bien, un sistema algebraico computacional como en el ejercicio 25 de la sección 5.1. Fue
mucho más difícil para Roberval puesto que el artificio de los límites no se había inventado
aún en 1635. Pero ya después de los años de 1660 y 1670, cuando Barrow descubrió el
teorema fundamental y Newton y Leibniz lo explotaron, este problema se volvió muy fácil,
como lo puede ver por el ejemplo 8.
EJEMPLO 9 ¿Qué es lo erróneo en el cálculo siguiente?
y 3 1
3
1 x1
2
dx
x 1
1 3 1 4 3
1
SOLUCIÓN Para empezar, observe que este cálculo es erróneo porque la respuesta es negativa,
pero f x 1x 2 0 y la propiedad 6 de las integrales establecen que
x b f x dx 0 cuando f 0. El teorema fundamental del cálculo se aplica en las funciones
continuas. En este caso no se puede aplicar porque f x 1x 2 no es continua
a
en 1, 3. En efecto, f tiene una discontinuidad infinita en x 0, de modo que
y 3 1
no existe.
1 x dx 2