calculo-de-una-variable-1

516 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
30. y 8 4
y 14 dx
29.
6 x 6 dx
2
4
sx 2
3
31. 32. y 1 dx
y 3 1
2 x dx 4 0 s1 x 2
51. y x 1
1 sx 4 x dx
52.
53. y 1 sec 2 x
0 xsx dx
54.
y
0
y
0
p
arctan x
2 e x dx
sen 2 x
sx
dx
y 33
0
33. x 1 15 dx
34.
35. y 3 dx
36.
0 x 2 6x 5
y 0 1
37. 38.
x dx 3
y 2
0
e 1x
39. z 2 ln z dz
40.
y 1
0
y 1
0
y 1
0
1
4y 1 dy
y p
csc x dx
p2
e 1x
x 3 dx
ln x
sx dx
55. La integral
es impropia por dos razones: el intervalo 0, es infinito y el
integrando tiene una discontinuidad infinita en 0. Evalúela
expresándola como una suma de integrales impropias de tipo 2
y tipo 1 como sigue:
y
0
1
sx 1 x dx
y
0
y 1
0
1
sx 1 x dx
1
sx 1 x dx y 1
1 sx 1 x dx
41–46 Bosqueje la región y encuentre su área (si el área es finita).
41.
S x, y x 1, 0 y e x
56. Evalúe
y
2
1
xsx 2 4 dx
42.
; 43.
; 44.
; 45.
; 46.
S x, y x 2, 0 y ex/2
S x, y 0 y 2x 2 9
S x, y x 0, 0 y xx 2 9
S x, y 0 x 2, 0 y sec 2 x
S {x, y 2 x 0, 0 y 1sx 2}
con el mismo método que empleó en el ejercicio 55.
57–59 Determine los valores de p para los cuales la integral
converge, y evalúe la integral para esos valores de p.
57.
59.
y 1
0
1
x p dx
y 1
x p ln x dx
0
58.
y
e
1
xln x p dx
; 47. (a) Si tx sen 2 xx 2 , use su calculadora o computadora para
construir una tabla de valores aproximados de x t tx dx
1
para t 2, 5, 10, 100, 1000 y 10 000. ¿Al parecer
x tx dx es convergente?
1
(b) Use el teorema de comparación con f x 1x 2 para
mostrar que x tx dx es convergente.
1
(c) Ilustre el inciso (b) graficando f y t en la misma pantalla
para 1 x 10. Use su gráfica para explicar de manera
intuitiva por qué tx dx es convergente.
x
1
; 48. (a) Si tx 1(sx 1) , use su calculadora o computadora
para elaborar una tabla de valores aproximados de
x t tx dx para t 5, 10, 100, 1000 y 10 000. ¿Al parecer
2
x tx dx es convergente o divergente?
2
(b) Use el teorema de comparación con f x 1sx para
mostrar que x tx dx es divergente.
2
(c) Ilustre el inciso (b) graficando f y t en la misma pantalla
para 2 x 20. Use su gráfica para explicar de forma
intuitiva por qué x
tx dx es divergente.
2
49–54 Use el teorema de comparación para determinar si la integral
es convergente o divergente.
50. y 2 e
y x
x
49. dx
0 x 3 1 dx
1 x
60. (a) Evalúe la integral x n e x dx para n 0, 1, 2 y 3.
0
(b) Infiera el valor de x x n e x dx cuando n es un entero positivo
arbitrario.
0
(c) Demuestre su conjetura por inducción matemática.
61. (a) Muestre que x x dx es divergente.
(b) Muestre que
Esto muestra que no se puede definir
62. La rapidez promedio de las moléculas en un gas ideal es
v 4
y f x dx lím
t l
y t f x dx
t
s
x
lím
t l yt x dx 0
t
2RT
M 32
y v 3 e Mv 2 2RT
dv
0
donde M es el peso molecular del gas, R es la constante de los
gases, T es la temperatura del gas y v es la rapidez molecular.
Muestre que
v 8RT
M