calculo-de-una-variable-1

390 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
67. Justifique (3) para el caso h 0.
68. Si f es continua y t y h son funciones derivables, determine
una fórmula para
d
f t dt
69. (a) Demuestre que 1 s1 x 3 1 x 3 para x 0.
(b) Demuestre que 1 x 1
s1 x 3 dx 1.25.
0
70. (a) Demuestre que cosx 2 cos x para 0 x 1.
(b) Deduce que cos(x 2 dx 1 2
.
71. Demostrar
6
y0
0 y 10
5
dx yhx tx
x 2
dx 0.1
x 4 x 2 1
comparando el integrando a una función de lo más simple.
75. Una empresa de fabricación tiene una pieza importante de un
equipo que se deprecia a la tasa (continua) f f t, donde t es
el tiempo medido en meses desde que se le sometió a su más
reciente reparación. Como cada vez que la máquina se somete
a una reparación mayor se incurre en un costo fijo, la compañía
desea determinar el tiempo óptimo T (en meses) entre las
reparaciones mayores.
(a) Explique por qué x t f s ds representa la pérdida en valor
0
de la máquina a lo largo del tiempo t a partir de la última
reparación mayor.
(b) Haga que C Ct esté dada por
Ct 1 A y t
f s ds
t
¿Qué representa C y por qué desearía la empresa minimizar
C?
(c) Demuestre que C tiene un valor mínimo sobre los números
t T donde CT f T.
0
72.
Sea
y
f x
0
x
2 x
0
tx y x
f t dt
0
si x 0
si 0 x 1
si 1 x 2
si x 2
76. Una compañía de alta tecnología compra un sistema de cómputo
nuevo cuyo valor inicial es V. El sistema se depreciará con una
rapidez f f t y acumulará costos de mantenimiento en una
proporción t t(t), donde t es el tiempo medido en meses. La
compañía desea determinar el tiempo óptimo para reemplazar el
sistema.
(a) Sea
73.
(a) Encuentre una expresión para tx similar a la correspondiente
a f x.
(b) Trace las gráficas de f y t.
(c) ¿En dónde es derivable f ? ¿Dónde es derivable t?
Halle una función f y un número a tal que
Ct 1 t yt f s ts ds
0
Demuestre que los números críticos de C se presentan en
los números t donde Ct f t tt.
(b) Suponga que
para toda x 0.
6 y x
a
f t
t 2 dt 2sx
V
f t 15 0
V
450 t si
si
0 t 30
t 30
74.
El área B es tres veces el área A. Exprese b en términos de a.
y
y
y=´
y=´
0
A
a x 0
B
b
x
y
tt Vt 2
t 0
12 900
Determine la duración del tiempo T para que la depreciación
total Dt x t f s ds equivalga al valor inicial V.
0
(c) Determine el valor mínimo absoluto de C sobre 0, T .
(d) Trace las gráficas de C y f t en el mismo sistema de
coordenadas y compruebe el resultado del inciso (a) en este
caso.