calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES |||| 647
_1 1
FI GURA 18
r=sen(8¨/5)
1
_1
& En el ejercicio 55, se pidió demostrar en
forma analítica lo que ya se había descubierto
a partir de las gráficas de la figura 19.
y, por lo tanto, se requiere que 16np5 sea un múltiplo par de p. Esto ocurrirá primero
cuando n 5. En consecuencia, se grafica la curva completa si se especifica
que 0 u 10p. Al cambiar de u a t, se tienen las ecuaciones
x sen8t5 cos t
y sen8t5 sen t
0 t 10
y en la figura 18 se muestra la curva resultante. Observe que esta rosa tiene 16 bucles.
V EJEMPLO 11 Investigue la familia de curvas polares dada por r 1 c sen . ¿Cómo
cambia la forma cuando cambia c? Estas curvas se llaman limaçons, por la palabra
francesa para caracol, debido a la forma de las curvas para ciertos valores de c.
SOLUCIÓN En la figura 19 se muestran gráficas dibujadas por computadora para varios valores
de c. Para c 1 hay un bucle que se hace pequeño cuando disminuye c. Cuando c 1 el
bucle desaparece y la curva se convierte en la cardioide que se bosquejó en el ejemplo 7. Para
c entre 1 y 2 la cúspide de la cardioide desaparece y se convierte en un “hoyuelo”. Cuan-
1
1
do c disminuye de 2 a 0, el limaçon tiene forma de óvalo. Este óvalo se vuelve más circular
cuando c l 0 y cuando c 0 la curva es justo el círculo r 1.
c=1.7 c=1 c=0.7 c=0.5 c=0.2
c=2.5
c=_2
c=0 c=_0.2 c=_0.5 c=_0.8 c=_1
FI GURA 19
Miembros de la familia de
caracoles r=1+c sen ¨
Las demás partes de la figura 19 muestran que c se vuelve negativa, las formas cambian
en orden inverso. De hecho, estas curvas son reflexiones respecto al eje horizontal
de las curvas correspondientes con c positiva.
10.3
EJERCICIOS
1–2 Grafique el punto cuyas coordenadas polares se dan. Después
encuentre otros dos pares de coordenadas polares de este punto,
uno con r 0 y uno con r 0.
1. (a) 2, 3 (b) (1, 34 (c) (1, 2
2. (a) (1, 74 (b) (3, 6 (c) 1, 1
3–4 Grafique el punto cuyas coordenadas polares se dan. Luego,
determine las coordenadas cartesianas del punto.
3. (a) 1, (b) 2, 23 (c) 2, 34
4. (a) (s2, 54) (b) 1, 52 (c) 2, 76
5–6 Se dan las coordenadas cartesianas de un punto.
(i) Encuentre las coordenadas polares r, u del punto, donde
r 0 y 0 u 2p.
(ii) Determine las coordenadas polares r, u del punto, donde
r 0 y 0 u 2p.
5. (a) 2, 2 (b) (1, s3 )
6. (a) (3 s3, 3)
(b) 1, 2