calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE LA SUSTITUCIÓN |||| 405
Cuando x 1, u 2 y cuando x 2, u 7. Por esto
y 2
1
dx
3 5x 1 du
2 5 y7 2 u 2
7
1 5
1 u2
1
7
5u2
1 5
1 7 1 2 1
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EJEMPLO 9 Calcule y e ln x
dx.
1 x
SOLUCIÓN Haga u ln x porque su diferencial du dxx se presenta en la integral. Cuando
x 1, u ln 1 0; cuando x e, u ln e 1. De modo que
y e
1
ln x
x
dx y 1
u du u 2
0
1
20
1 2
& Como la función f x ln xx en el
ejemplo 9 es positiva para x 1, la integral
representa el área de la región sombreada en
la figura 3.
FIGURA 3
0.5
y
0
y= ln x
x
1 e
x
SIMETRÍA
En el teorema siguiente se usa la regla de sustitución para las integrales definidas, (6),
con el fin de simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de
simetría.
7 INTEGRALES DE FUNCIONES SIMÉTRICAS Suponga que f es continua sobre
a, a.
(a) Si f es par f x f x, entonces x a f x dx 2 .
a xa f x dx
0
(b) Si f es impar f x f x, entonces f x dx 0.
x a a
DEMOSTRACIÓN
Separe la integral en dos:
8
y a a
f x dx y 0 f x dx y a
a
0
f x dx y a
0
f x dx y a
f x dx
0
En la primera integral de la extrema derecha haga la sustitución u x. Entonces
du dx y, cuando x a, u a. Por consiguiente,
y a
0
f x dx y a
0
f udu y a
f u du
0