calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.2 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN |||| 535
Para la rotación respecto al eje y, la fórmula del área superficial se convierte en
8
S y 2x ds
donde, como antes, se puede usar
ds 1
dx
dy 2
dx
o bien
ds 1
dy
dx 2
dy
Estas fórmulas se pueden recordar si se considera a 2y or 2x como la circunferencia de
un círculo trazado por el punto (x, y) sobre la curva cuando se hace girar respecto al eje x
o al eje y, respectivamente (véase figura 5).
y
y
(x, y)
0
y
x
x
(x, y)
FIGURA 5
circunferencia=2πy
(a) Rotación respecto al eje x: S= j 2πy ds
circunferencia=2πx
0
x
(b) Rotación respecto al eje y: S= j 2πx ds
y
V EJEMPLO 1 La curva y s4 x 2 , 1 x 1, es un arco del círculo .
Encuentre el área de la superficie obtenida al hacer girar este arco respecto al eje x.
(La superficie es una porción de una esfera de radio 2. Véase figura 6.)
SOLUCIÓN Se tiene
dy
dx 1 24 x 2 12 2x
x 2 y 2 4
x
s4 x 2
1 x
y, por lo tanto, por la fórmula 5, el área superficial es
S y 1 2y 1 dy 2
dx
1 dx
2 y 1 s4 x 2 1 x 2
1 4 x dx 2
FIGURA 6
& En la figura 6 se muestra la porción de la
esfera cuya área superficial se calculó en el
ejemplo 1.
2 y 1 1 s4 x 2
2
s4 x 2 dx
4 y 1 1
1 dx 42 8