calculo-de-una-variable-1

740 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
& En la figura 2 se ilustra la gráfica de
sen x junto con su polinomio de Taylor
(o de Maclaurin)
FIGURA 2
T 1x x
T 3x x x 3
Observe que cuando n se incrementa, T nx se
vuelve una mejor aproximación para sen x.
y=sen x
y
1
& La serie de Maclaurin para e x , sen x y cos x
que determinó en los ejemplos 2, 4 y 5 la descubrió
Newton aplicando métodos distintos.
Estas ecuaciones son notables porque se
conoce todo con respecto a cada una de estas
funciones si conoce todas sus derivadas en el
número 0.
3!
T 5x x x 3
3! x 5
5!
T¡
0 1
x
T£
T∞
Puesto que f n1 x es sen x o bien, cos x, sabe que para toda x. De
este modo puede tomar a M 1 en la desigualdad de Taylor
14
R nx M
n 1! x n1
n l
De acuerdo con la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad tiende a 0 cuando
, de modo que R nx l 0 según el teorema de compresión. Se infiere entonces
que R n x l 0 cuando , de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Maclaurin
de acuerdo con el teorema 8.
Se establece el resultado del ejemplo 4 para referencia futura.
15
n l
EJEMPLO 5 Determine la serie de Maclaurin para cos x.
para toda x
SOLUCIÓN Podría proceder en forma directa como en el ejemplo 4, pero es más fácil derivar
la serie de Maclaurin para sen x dada por la ecuación 15:
cos x d dx sen x d x
x 3
dx 3! x 5
5! x 7
7!
1 3x 2
3!
16
sen x x x 3
x 2n1
1 n
2n 1!
5x 4
5!
n0
7x 6
7!
Puesto que la serie de Maclaurin para sen x converge para toda x, el teorema 2 de la
sección 11.9 señala que la serie derivada para cos x converge también para toda x. En
estos términos,
cos x 1 x 2
3! x 5
5! x 7
1 x 2
2! x 4
4! x 6
f n1 x 1
x n1
n 1!
7!
2! x 4
4! x 6
6!
6!
x 2n
1 n
2n!
n0
para toda x
EJEMPLO 6 Determine la serie de Maclaurin para la función f x x cos x.
SOLUCIÓN En lugar de calcular las derivadas y sustituir en la ecuación 7, es más fácil multiplicar
la serie para cos x, ecuación 16, por x:
x cos x x x 2n
1 n
2n!
1 x 2n1
n 2n!
n0
n0
EJEMPLO 7 Represente
en 3.
f x sen x como la suma de su serie de Taylor centrada