calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 123
(b) Una función racional es una función de la forma
donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D x Qx 0. Sabe, del inciso
(a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera, f es continua en todo
número en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4.
Como ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamente
con su radio porque la fórmula Vr 4 3r 3 hace ver que V es una función polinomial
de r. Del mismo modo, si se lanza una pelota verticalmente en el aire, con una velocidad de
50 fts, después la fórmula h 50t 16t 2 expresa la altura de la pelota, en pies, después
de t segundos. De nuevo, es una función polinomial, de modo que la altura es una función
continua del tiempo transcurrido.
Saber cuáles funciones son continuas permite evaluar algunos límites con mucha
rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Compárelo con el ejemplo 2(b) de la sección
2.3.
x 3 2x 2 1
EJEMPLO 5 Encuentre lím
.
x l2 5 3x
SOLUCIÓN La función
es racional, de modo que por el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual es
. En consecuencia
{x x 5 3}
f x Px
Qx
f x x 3 2x 2 1
5 3x
lím
x l2
x 3 2x 2 1
5 3x
lím f x f 2
x l2
23 22 2 1
5 32
1
11
y
0
¨
1
P(cos ¨, sen ¨)
(1, 0)
x
Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número
en su dominio. Por ejemplo, la ley de los límites 10 (página 110) es exactamente la proposición
de que las funciones raíz son continuas.
Con base en el aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en la
sección 1.2), podría suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la definición
de sen u y cos u sabe que las coordenadas del punto P de la figura 5 son cos u, sen u.
Cuando u l 0, P tiende al punto 1, 0 y, por consiguiente, cos u l 1 y sen u l 0. De
esta manera
FIGURA 5
6
lím
cos
1lím sen 0
l 0 l 0
& Otra forma de establecer los límites en (6)
es usar el teorema de la compresión con la
desigualdad sen u u (para u 0), lo cual
se prueba en la sección 3.3.
Como cos 0 1 y sen 0 0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones seno
y coseno son continuas en 0. Por lo tanto se pueden aplicar las fórmulas de la adición para
coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (véase los
ejercicios 56 y 57).
De la parte 5 del teorema 4, se deduce que
tan x sen x
cos x