calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 147
Si escribe x a h, en tal caso, tiene h x a y h se aproxima a 0 si y sólo si x se
aproxima a a. En consecuencia, una manera equivalente de establecer la definición de la
derivada, como se mencionó en la búsqueda de rectas tangentes, es
5
fa lím
x l a
fx fa
x a
V
EJEMPLO 4 Hallar la derivada de la funcion fx x 2 8x 9 en el número a.
SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene
fa lím
h l 0
fa h fa
h
lím
h l 0
a h 2 8a h 9 a 2 8a 9
h
lím
h l 0
a 2 2ah h 2 8a 8h 9 a 2 8a 9
h
2ah h 2 8h
lím
lím 2a h 8
h l 0 h
h l 0
2a 8
Defina la recta tangente a la curva y fx en el punto Pa, fa como la recta tangente
que pasa a través de P y tiene pendiente m, proporcionada por la ecuación 1 o 2,
ya que, mediante la definición 4, es la misma que la derivada f a, ahora puede decir
lo siguiente.
La recta tangente a y fx en a, fa es la recta tangente a través de a, fa cuya
pendiente es igual a f a, la derivada de f en a.
Si usa la forma punto pendiente de la ecuación de una recta, puede escribir una ecuación
de la recta tangente a la curva y fx en el punto a, fa:
y
y=≈-8x+9
0 x
(3, _6)
y=_2x
FIGURA 7
y fa f ax a
V EJEMPLO 5 Halle una ecuación de la recta tangente a la parábola y x 2 8x 9 en
el punto 3, 6.
SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabe que la derivada de fx x 2 8x 9 en el número
a es f a 2a 8. En consecuencia la pendiente de la recta tangente en 3, 6 es
f 3 23 8 2. En estos términos, una ecuación de la recta tangente, se
muestra en la figura 7, es
y 6 2x 3 o bien y 2x
RELACIONES DE CAMBIO
Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x
y escriba y fx. Si x cambia de x 1 a x 2 , por lo tanto el cambio en x (también conocido
como incremento de x) es
x x 2 x 1