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SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 189
49. Si t es una función derivable, encuentre una expresión para la
derivada de cada una de las funciones siguientes.
(a) y xtx (b) y
x (c) y tx
tx
x
50. Si f es una función derivable, encuentre una expresión para la
derivada de cada una de las funciones siguientes.
(a) y x 2 f x
(c)
y x 2
f x
51. ¿Cuántas rectas tangentes a la curva y xx 1) pasan por
el punto (1, 2)? ¿En qué puntos toca la curva estas rectas
tangentes?
52. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
(b)
(d)
y x 1
x 1
y f x
x 2
que sean paralelas a la recta x 2y 2.
y 1 xfx
sx
53. En este ejercicio estime la proporción a la que se está
elevando el ingreso personal total en el área metropolitana de
Richmond-Petersburg, Virginia. En 1999, la población de esta
área era 961 400 y la población aumentaba en alrededor de
9 200 personas al año. El ingreso anual promedio era $30 593
per cápita, y este promedio aumentaba en cerca de $1 400 al año
(ligeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de
$1 225 al año). Use la regla del producto y estas cifras para
estimar la proporción en la que estaba aumentando el ingreso
personal total en el área de Richmond-Petersburg en 1999.
Explique el significado de cada término en la regla del producto.
54. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho
fijo. La cantidad q de esta tela (medida en yardas) que se vende
es función del precio de venta p (en dólares por yarda), de
55.
modo que q f p. Luego el ingreso total que se percibe con
el precio de venta p es Rp pfp.
(a) ¿Qué significa afirmar que f 20 10 000 y
f 20 350?
(b) Suponiendo los valores del inciso (a), encuentre R(20)
e interprete su respuesta.
(a) Utilice la regla del producto dos veces para probar que si f,
t y h son derivables, en tal caso
fth f th fth fth.
(b) Tome f t h en el inciso (a) y demuestre que
d
dx f x3 3 f x 2 f x
(c) Aplique el resultado del inciso (b) para derivar y e 3x .
56. (a) Si Fx fxtx, donde f y t son derivables en todos los
ordenes y demostrar que F ft 2ft ft.
(b) Hallar formulas similares para F y F (4) .
(c) Intente una formula para F (n) .
57. Hallar expresiones para las primeras cinco derivadas de
f(x) x 2 e x . ¿Observa algún patrón en estas expresiones?
Intente una formula para f (n) (x) y compruebe aplicando
inducción matemática.
58. (a) Si t es derivable la regla del recíproco dice que
d
1
dx tx tx
tx 2
Aplique la regla del cociente para comprobar la regla del
recíproco
(b) Utilice la regla del recíproco para derivar la función del
ejercicio 18.
(c) Utilice la regla del recíproco para comprobar que la regla de la
potencia es válida para números enteros negativos, es decir,
d
dx xn nx n1
para todos los números enteros positivos n.
& En el apéndice D se da un repaso de las
funciones trigonométricas
3.3
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Antes de iniciar esta sección, quizá podría necesitar repasar las funciones trigonométricas.
En particular, es importante recordar que cuando habla de la función f definida para todos
los números reales x por
f(x) sen x
se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Se cumple
una convención similar para las demás funciones trigonométricas: cos, tan, csc, sec y
cot. Recuerde, por lo que se vio en la sección 2.5, que todas las funciones trigonométricas
son continuas en cada número en sus dominios.
Si traza la gráfica de la función f(x) sen x y utiliza la interpretación de f x como
la pendiente de la tangente a la curva seno para trazar la gráfica de f (véase el ejercicio 14