calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 191
D
BC OB sen sen
arco AB . Asimismo, . Con base en el diagrama, se ve que
B
BC AB arco AB
O
¨
1
O
(a)
C
B
E
A
E
A
En consecuencia sen
de igual manera
Suponga que las tangentes en A y B se intersecan en E. Puede ver, con base en la figura
2(b) que la circunferencia de un círculo es menor que la longitud de un polígono circunscrito,
de modo que arco
. Así,
AB AE EB
arco AB AE EB
AE ED
AD OA tan
tan
sen
1
FIGURA 2
(b)
(En el apéndice F se demuestra directamente la desigualdad a partir de la definición
de la longitud de un arco, sin recurrir a la intuición geométrica como se hizo aquí.)
Por lo tanto,
sen
cos
tan
de modo que
cos
sen
1
Sabe que lím l 0 1 1 y lím l 0 cos 1; de este modo, por el teorema de la compresión
lím
l 0 sen
Pero la función sen es una función par, de suerte que sus límites por la derecha y la
izquierda deben ser iguales. De donde, tiene
1
lím
l 0
sen
1
de forma que ha probado la ecuación 2.
Puede deducir el valor del límite restante en (1), como sigue:
& Multiplique el numerador y el denominador
por cos 1 para poner la función en una
forma en que pueda usar los límites que
conoce.
lím
l 0
cos 1
lím
cos 1
cos 1 cos
cos 1 2 1
lím
cos 1
sen 2
lím
cos 1 lím sen sen
cos 1
l 0
l 0
l 0
l 0
lím
l 0
sen
lím
l 0
sen
cos 1
1 0
1 1 0
(por la ecuación 2)