calculo-de-una-variable-1

760 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
31.
1 e e 2
2! e 3
3! e 4
4! 49. f x ln1 x
50.
51. f x senx 4
52.
f x xe 2x
f x 10 x
32. Exprese el decimal periódico 4.17326326326... como una
fracción.
33. Demuestre que cosh x 1 1 2 x 2 para toda x.
34. ¿Para qué valores de x converge la serie n1 ln x n ?
35. Calcule la suma de la serie 1 n1
con cuatro dígitos
n1 n
decimales.
5
36. (a) Determine la suma parcial s 5 de la serie y estime
el error al usarla como aproximación de la suma de la serie.
(b) Calcule la suma de esta serie con cinco dígitos decimales.
37. Use la suma de los primeros ocho términos para aproximarse a la
suma de la serie
. Estime el error que se origina
en esta aproximación.
38. (a) Demuestre que la serie es convergente.
2n!
(b) Deduzca que lím .
n l 2n! 0
39. Demuestre que si la serie n1 a n es absolutamente convergente,
por lo tanto la serie
n1 n 1
a n
n
es también absolutamente convergente.
40–43 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia
de la serie.
n1
40. 1 n
41.
n 2 5 n
42. 2 n x 2 n
43.
n 2!
n1
x n
n1 2 5 n 1 n1 1n 6
44. Calcule el radio de convergencia de la serie
n n
n1
2n!
n1 n! x n
2
x 2 n
n1 n4 n
2 n x 3 n
n0 sn 3
45. Determine la serie de Taylor de f x sen x en a 6.
46. Determine la serie de Taylor de f x cos x en a 3.
47–54 Encuentre la serie de Maclaurin para f y su radio de convergencia.
Puede aplicar el método directo (definición de una serie de
Maclaurin) o las series conocidas, como la serie geométrica, serie binomial
o la serie de Maclaurin para e x , sen x y tan 1 x.
47. f x x 2
48. f x tan 1 x 2
1 x
n n
53. f x 1s 4 16 x
54. f x 1 3x 5
55. Evalúe y e x
como una serie infinita.
x dx
56. Mediante series aproxime x 1 s1 x 4 dx con dos dígitos
0
decimales.
57–58
(a) Obtenga un valor aproximado de f mediante un polinomio de
Taylor de grado n en el número a.
; (b) Dibuje f y T n en una misma pantalla.
(c) Use la desigualdad de Taylor para estimar la exactitud de la
aproximación f x T nx cuando x se encuentra en el intervalo
dado.
; (d) Compruebe su resultado del inciso (c) mediante la gráfica
de .
Rnx
57. f x sx, a 1, n 3,
58. f x sec x, a 0, n , 0 x 6
2x 3
59. Mediante series evalúe el siguiente límite.
sen x x
lím
x l 0
60. La fuerza de la gravedad que actúa en un objeto de masa m a
una altura h por encima de la superficie de la Tierra es
F
mtR2
R h 2
0.9 x 1.1
donde R es el radio de la Tierra y g es la aceleración de la
gravedad.
(a) Exprese F como una serie en potencias de hR.
; (b) Observe que si aproxima F con el primer término de la serie,
obtiene la expresión F mt que se usa por lo común
cuando h es mucho más pequeña que R. Aplique el teorema
de la estimación de la serie alternante para calcular
los valores de h para los cuales la aproximación F mt no
difiere 1% (del valor real R 6 400 km).
61. Suponga que f x n0 c nx n para toda x.
(a) Si f es una función impar, demuestre que
c 0 c 2 c 4 0
(b) Si f es una función par, demuestre que
c 1 c 3 c 5 0
62. Si f x e , demuestre que f 2n 0 2n!
x 2 n!