calculo-de-una-variable-1

130 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
55. Demuestre que f es continua en a si y sólo si
56. Para demostrar que seno es continuo necesita demostrar que
lím xl a sen x sen a para todo número real a. Según el
ejercicio 55, una proposición equivalente es que
Aplique (6) para demostrar que esto es cierto.
57. Compruebe que coseno es una función continua.
58. (a) Demuestre el teorema 4, parte 3.
(b) Demuestre el teorema 4, parte 5.
59. ¿Para qué valores de x es continua f ?
60. ¿Para qué valores de x es continua g?
61.
lím f a h f a
h l 0
lím sena h sen a
h l 0
f x 0 1
tx 0 x
si x es racional
si x es irracional
si x es racional
si x es irracional
¿Hay un número que es exactamente 1 más que su cubo?
62. Si a y b son números positivos, comprobar que la ecuación
a
x 3 2x 2 1
tiene por lo menos una solución en el intervalo 1, 1.
63. Demuestre que la función
fx x4 sen1x
0
es continua en , .
b
x 3 x 2 0
si x 0
si x 0
64. (a) Demuestre que la función de valor absoluto Fx x es
continua en todas partes.
(b) Compruebe que si f es una función continua sobre un
intervalo, entonces también lo es f .
(c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso (b) también es
verdadero? En otras palabras, ¿si f es continua se
deduce que f es continua? De ser así, compruébelo.
En caso de no ser así, halle un ejemplo contrario.
65. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y
emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña,
a donde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el
regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega
al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor
intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la
ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en
ambos días.
2.6
LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES
x
fx
0 1
1 0
2 0.600000
3 0.800000
4 0.882353
5 0.923077
10 0.980198
50 0.999200
100 0.999800
1000 0.999998
En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí se
dejó que x se aproximara a un número y el resultado es que los valores de y se vuelven
arbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección se permite que x
se vuelva arbitrariamente grande en magnitud y se observa qué le sucede a y.
Empiece por investigar el comportamiento de la función f definida por
f x x 2 1
x 2 1
cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función correctos hasta seis
posiciones decimales (o seis dígitos decimales) y, en la figura 1, se ha trazado la gráfica de
f por medio de una computadora.
y
y=1
FIGURA 1
Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de fx se aproximan cada vez
más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de fx a 1 eligiendo
una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo
0
x 2 1
lím
x l x 2 1 1
1
y= ≈-1
≈+1
x